Het begrip lineaire vergelijking

Stelsels lineaire vergelijkingen en matrices: Lineaire vergelijkingen

Het begrip lineaire vergelijking

Stel dat \(x\) het getal \(3\) voorstelt en \(y\) het getal \(2\). Dan geldt bijvoorbeeld: \(x+1=6-y\). Dit betekent dat \(x=3, y=2\) voldoet aan de vergelijking \(x+1=6-y\). Voor de getallen #2# en #3# kun je nog veel meer vergelijkingen opschrijven waaraan ze voldoen.

In praktijk is de situatie andersom: \(x\) en \(y\) zijn onbekende getallen die voldoen aan de vergelijking \(x+1=6-y\) en we zijn uit op het vinden van de mogelijke waarden van \(x\) en \(y\). Met andere woorden we willen de vergelijking oplossen. Dit kan door herleiding, dat wil zeggen door steeds een vergelijking op te schrijven die eenvoudiger is dan de vorige en dezelfde oplossing heeft. In het gekozen voorbeeld kan de vergelijking herleid worden tot \(y=5-x\) en dat betekent dat bij een willekeurig gekozen waarde voor \(x\), zeg \(x=a\), de waarde van \(y\) gegeven wordt door \(y=5-a\).

Het gekozen voorbeeld is wel van een speciaal type: het is namelijk een lineaire vergelijking in \(x\) en \(y\). In deze sectie concentreren we ons op het geval van één lineaire vergelijking in één of meerdere onbekenden.

Lineaire vergelijking

Laat \(x_1,\ldots, x_n\) variabelen zijn.

Een lineaire vergelijking met onbekenden \(x_1,\ldots, x_n\) is een vergelijking die via elementaire operaties herleid kan worden tot een (lineaire) basisvorm \[a_1x_1 + \cdots + a_nx_n + b = 0\] waarbij \(a_1,\ldots,a_n\) en \(b\) reële of complexe getallen zijn. We spreken ook wel van een lineaire vergelijking in \(x_1,\ldots ,x_n\).

Onder een elementaire bewerking verstaan we haakjes wegwerken, hergroeperen van deeluitdrukkingen, het aan beide zijden van de vergelijking optellen en aftrekken van gelijke uitdrukkingen, of het aan beide zijden van de vergelijking vermenigvuldigen en delen met een getal ongelijk aan nul. We spreken van een elementaire herleiding als alle stappen in de herleiding elementaire bewerkingen zijn.

De uitdrukking links van het gelijkteken (\(=\)) heet het linkerlid of de linkerzijde van de vergelijking (hierboven is dat \(a_1x_1 + \cdots + a_nx_n + b\)) en de uitdrukking rechts ervan het rechterlid of de rechterzijde (hierboven is dat \(0\)).

De uitdrukkingen \(a_1x_1, \ldots, a_nx_n\) en \(b\) in het linkerlid van de basisvorm heten termen. Voor elke index \(i\) noemen we het getal \(a_i\) de coëfficiënt van \(x_i\). Termen waarin geen onbekende staat heten constante termen, of kortweg constanten (hierboven zijn dat de getallen \(b\) en \(0\)).

Een lijst van \(n\) getallen \(\rv{s_1,\ldots, s_n}\) heet een oplossing van de vergelijking als invullen van \(x_1=s_1, \ldots, x_n=s_n\) in de vergelijking een ware bewering oplevert. Alle waarden van \(x_1,\ldots ,x_n\) waarvoor de vergelijking waar is vormen de oplossing van de vergelijking.

Twee lineaire vergelijkingen heten equivalent wanneer ze dezelfde oplossingen hebben.

Als een vergelijking uit een ander herleid kan worden met behulp van elementaire transformaties, dan zijn beide vergelijkingen equivalent.

Door substitutie \(n=1\), \(a_1=2\) en \(b=3\) in bovenstaande basisvorm van een lineaire vergelijking krijg je \(2x_1+3=0\). Een oplossing van deze vergelijking is \(x_1=-\frac{3}{2}\). Het is zelfs de oplossing: er zijn geen andere.

We zeggen dan dat \(x_1=-\frac{3}{2}\) de oplossing is van de vergelijking \(2x_1+3=0\).

De vergelijking \(x_1+2=-(x_1+1)\) is een equivalente lineaire vergelijking en heeft dus dezelfde oplossing.

Er is geen unieke basisvorm: de vergelijkingen \(2x-2=0\) en \(x-1=0\) hebben beiden de basisvorm, maar zijn verschillend en kunnen toch door elementaire bewerkingen in elkaar overgevoerd worden.

De vergelijkingen \(x_1+x_2=x_1\cdot x_2\) en \(x_1+\sqrt{x_2}=0\) zijn niet lineair vanwege de aanwezigheid van het product \(x_1\cdot x_2\) respectievelijk de vierkantswortel \(\sqrt{x_2}\).

De vergelijkingen \(\frac{x-1}{2x-3}=4\) en \(|x-1|=|2x-3|\) zijn weliswaar op te lossen via lineaire vergelijkingen (ga dit zelf na), maar toch noemen we ze geen lineaire vergelijkingen omdat de linkerkant van de eerste vergelijking een rationale uitdrukking is en de tweede vergelijking absolute waarden bevat. Hierdoor is er geen elementaire herleiding tot de basisvorm van een lineaire vergelijking.

De vergelijking \((x-1)^2=(x+1)^2\) vatten we op als lineair, omdat haakjes wegwerken en termen hergroeperen leiden tot de vergelijking \(4x=0\). Het zou te gekunsteld zijn om deze vergelijking als een kwadratische vergelijking \(0x^2+4x=0\) op te vatten, enkel en alleen omdat er in de oorspronkelijke vergelijking een kwadraat staat.

Daarentegen noemen we de vergelijking \(\sqrt{(x-1)^2+4x}=0\) niet lineair, hoewel deze te herleiden is tot \(x+1=0\). Maar de herleiding bevat een niet-elementaire stap: de overgang van \(\sqrt{(x+1)^2}=0\) naar \( x+1=0\).

Het begrip equivalentie van vergelijkingen kan ook toegepast worden voor niet-lineaire vergelijkingen:

Twee vergelijkingen heten equivalent als ze dezelfde oplossing hebben.

Elk van de twee niet-lineaire vergelijkingen \((x-1)^3=0\) en \((x-1)^2=0\) is equivalent met de lineaire vergelijking \(x-1=0\). Maar de eerste twee vergelijkingen zijn niet lineair omdat voor de herleiding tot de lineaire vergelijking \(x-1=0\) een niet-elementaire vereenvoudiging nodig is.

Wat betreft de notatie van lineaire vergelijkingen betreft bestaan er conventies waar we ons zoveel mogelijk aan committeren. Bijvoorbeeld, als het aantal variabelen in een lineaire vergelijking klein is worden meestal geen geïndexeerde namen \(x_1, x_2,\ldots\) gebruikt maar verschillende letters. Zo schrijven we \(2x+3y+4=0\) in plaats van \(2x_1+3x_2+4=0\).

In dit hoofdstuk zullen we de twee notaties naast elkaar gebruiken. In computeropgaven zullen we daarentegen bij voorkeur letters voor variabelen hanteren omdat ze gemakkelijker in te voeren zijn dan geïndexeerde namen.

Niet-elementaire bewerking

Aan beide zijden van een vergelijking kwadrateren is een voorbeeld van een bewerking die niet elementair is en die niet altijd een vergelijking oplevert die equivalent is met de oorspronkelijke. Als we bijvoorbeeld de vergelijking #x=5# aan beide zijden kwadrateren, dan krijgen we #x^2=25#, een vergelijking die naast #x=5# ook als oplossing #x=-5# heeft. Bovendien voert deze bewerking een lineaire vergelijking vaak in een niet-lineaire vergelijking over.

Notatie

Vaak worden onbekenden in plaats van met \(x\), \(y\), en \(z\) aangegeven met \(x_1\), \(x_2\) en \(x_3\). Bijvoorbeeld \(x_1+4x_2+5x_3+6=0\) in plaats van \(x+4y+5z+6=0\). Dit maakt het gemakkelijker om de theorie, methoden en technieken op te schrijven voor een willekeurig gekozen aantal van \(n\) onbekenden.

Is de volgende vergelijking in #x# lineair?

\[ 2x-x=x+6\]

Ja

De vergelijking kan herleid worden tot #0\cdot x-6=0 # en is dus lineair volgens de definitie.

Het is een ontaarde situatie waarin de onbekende niet echt in de vergelijking voorkomt.

Overigens heeft de vergelijking geen oplossingen.

Nieuw voorbeeld