Een lineaire vergelijking met meerdere onbekenden oplossen

Stelsels lineaire vergelijkingen en matrices: Lineaire vergelijkingen

Een lineaire vergelijking met meerdere onbekenden oplossen

Op dezelfde manier waarop we eerder de algemene oplossing van een lineaire vergelijking met één onbekende beschreven hebben, kunnen we ook een lineaire vergelijking met twee of meer onbekenden oplossen; het is slechts een kwestie van kiezen welke onbekenden we tijdelijk als parameters zien.

Eerst bespreken we vergelijkingen met twee onbekenden.

De lineaire vergelijking $a\cdot x+b\cdot y=c$ , met onbekenden $x$ en $y$ , waarbij $a$ , $b$ en $c$ getallen of parameters zijn, kunnen we op de volgende twee manieren oplossen:

Door $y$ tijdelijk als parameter te zien: lossen we de lineaire vergelijking met onbekende $x$ op, dan zien we dat $x=-\frac{b}{a}\cdot y+\frac{c}{a}$ . Dit kan alléén als $a\ne0$ ; de oplossingen zijn dus alle paren $\rv{x,y}$ die de vorm $\rv{-\frac{b}{a}\cdot y+\frac{c}{a},y}$ hebben. Hier wordt de rol van $y$ als parameter duidelijk: voor elke waarde van $y$ is er precies één oplossing.
Door $x$ als parameter te zien: lossen we de lineaire vergelijking met onbekende $y$ op, dan zien we dat $y=-\frac{a}{b}\cdot x+\frac{c}{b}$ . Dit kan alléén als $b\ne0$ ; de oplossingen zijn dus alle paren $\rv{x,y}$ die de vorm $\rv{x,-\frac{a}{b}\cdot x+\frac{c}{b}}$ hebben. Hier wordt de rol van $x$ als parameter duidelijk: voor elke waarde van $x$ is er precies één oplossing.

De lineaire vergelijking $2x+3y + 4 =0$ kan gebruikt worden om

$x$ in $y$ uit te drukken: $x=-\frac{3y+4}{2}$
$y$ in $x$ uit te drukken: $y=-\frac{2x+4}{3}$

In vergelijkingen als $0\cdot x+3y+4=0$ en $2x+0\cdot y+4 = 0$ zijn niet alle onbekenden echt aanwezig: de vergelijking kan herschreven worden, zodat er minder onbekenden in voorkomen.

Als $a\ne0$ en $b\ne0$ , dan is er overlap tussen het eerste en tweede geval. Elk van de twee geeft een manier om de verzameling oplossingen te beschrijven. De eerste doet dat door $x$ als functie van $y$ te zien, de tweede door $y$ als functie van $x$ te zien. Exclusief voor het eerste geval is de verticale lijn die bij $a=0$ optreedt, en voor het tweede geval de horizontale lijn die bij $b=0$ optreedt.

We hebben nu mogelijke oplossingen aangegeven als $a\ne0$ of $b\ne0$ . De uitkomsten vormen de verzameling punten op een lijn in het platte vlak. Als $a=0$ en $b=0$ , dan luidt de vergelijking $0=c$ en blijven nog twee gevallen over:

als $c=0$ , dan is elk paar $\rv{x,y}$ een oplossing, en
als $c\ne0$ , dan is er geen enkele oplossing.

Resteert het algemene geval.

Isoleren van een onbekende in een lineaire vergelijking met $n$ onbekenden

Bekijk de lineaire vergelijking $a_1x_1 + \cdots + a_nx_n + b = 0$ waarbij $a_1, \ldots, a_n$ en $b$ reële of complexe getallen zijn en $x_1, \ldots, x_n$ onbekenden zijn.

Stel dat de coëfficiënt van één van de onbekenden ongelijk aan nul is, zeg $a_1\neq 0$ ; dan kan de onbekende $x_1$ geïsoleerd worden door alle andere onbekenden tijdelijk als parameter te zien: $x_1=\frac{-b - a_2x_2 -\cdots - a_nx_n}{a_1}$
Als alle coëfficiënten gelijk aan nul zijn, blijven nog twee gevallen over:
- als $b=0$ , dan is elk $n$ -tal $\rv{x_1,\ldots,x_n}$ een oplossing, en
- als $b\ne0$ , dan is er geen enkele oplossing.

De oplossing die beschreven is voor $a_1\ne0$ kan worden verkregen uit het geval van één onbekende door de vergelijking op te vatten als $a_1x_1+c = 0$ waarbij $c = a_2x_2 + \cdots + a_nx_n + b$ .

Herleid $8 x+3 y=1$ tot een vergelijking van de vorm $y=a\cdot x+b$ .

$y = -{{8}\over{3}} x + {{1}\over{3}}$

We gaan te werk als bij het oplossen van een lineaire vergelijking met onbekende $y$ . We zien $x$ dus als parameter.

$\begin{array}{rclcl} 8 x+3 y&=&1&\phantom{xxxxx}&\color{blue}{\text{de gegeven vergelijking}}\\ 3 y &=& 1- 8 x&\phantom{xxxxx}&\color{blue}{\text{termen zonder }y\text{ naar rechts gebracht}}\\ y &=&\displaystyle \frac{1-8x}{3} &\phantom{xxxxx}&\color{blue}{\text{gedeeld door de coëfficiënt }3\text{ van }y}\\ y &=&\displaystyle -{{8}\over{3}} x + {{1}\over{3}}&\phantom{xxxxx}&\color{blue}{\text{vereenvoudigd en volgorde van termen veranderd}} \end{array}$

Nieuw voorbeeld