Een stelsel van \(m\) lineaire vergelijkingen met \(n\) onbekenden \(x_1, \ldots, x_n\) is via elementaire bewerkingen te herleiden tot de volgende basisvorm \[\left\{\;\begin{array}{llllllllllll} a_{11}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{12}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{1n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_1\\ a_{21}x_1 \!\!&+&\!\! a_{22}x_2 \!\!&+&\!\! \cdots \!\!&+&\!\!\!\! a_{2n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_2\\ \vdots &&\vdots &&&& \vdots&&\!\!\!\!\vdots\\ a_{m1}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{m2}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{mn}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_m\end{array}\right.\] Hierbij zijn alle \(a_{ij}\) en \(b_i\) met \(1\le i\le m\) en \(1\le j\le n\) reële of complexe getallen. De getallen \(a_{ij}\) noemen we de coëfficiënten van het stelsel. De getallen \(b_i\) noemen we de rechter leden van het stelsel.
Een stelsel lineaire vergelijkingen waarbij de rechter leden in bovenstaande basisvorm allemaal gelijk aan nul zijn heet een homogeen stelsel; een algemeen stelsel heet inhomogeen. Het stelsel vergelijkingen dat uit een inhomogeen stelsel wordt verkregen door de rechter leden door nul te vervangen heet het bijbehorende homogene stelsel. Bovenstaand stelsel vergelijkingen heeft dus als bijbehorend homogeen stelsel \[\left\{\;\begin{array}{llllllllll} a_{11}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{12}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{1n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!0\\ a_{21}x_1 \!\!&+&\!\! a_{22}x_2 \!\!&+&\!\! \cdots \!\!&+&\!\!\!\! a_{2n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!0\\ \vdots &&\vdots &&&& \vdots&&\!\!\!\!\vdots\\ a_{m1}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{m2}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{mn}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!0\end{array}\right.\]
Bekijk het volgende stelsel lineaire vergelijkingen in de onbekenden #x#, #y# en #z#: \[\lineqs{x-y +z &=& 9\cr x+y+z &=& 1\cr}\]
Dit is een stelsel van #2# lineaire vergelijkingen in #3# onbekenden. In plaats van #x_1#, #x_2#, #x_3# hebben we de onbekenden #x#, #y#, #z# genoemd. Hierbij is de volgorde iets minder vanzelfsprekend. Die moet dus wel worden aangegeven.
Het bijbehorende homogene stelsel is
\[\lineqs{x-y +z &=& 0\cr x+y+z &=& 0\cr}\]
Elke vergelijking is geschreven in een vorm die alleen afwijkt van de eerder besproken basisvorm, doordat de constanten nu rechts van het gelijkheidsteken staan en eerder links.
Bovendien staan de onbekenden bij elke vergelijking van het stelsel in dezelfde volgorde.
De oplossingen van een inhomogeen stelsel lineaire vergelijkingen zijn van de vorm \(p+H\), waarbij \(p\) een vast gekozen oplossing van het inhomogene stelsel is (de zogenaamde particuliere oplossing) en \(H\) alle oplossingen van het bijbehorende homogene stelsel doorloopt (oftewel \(H\) is de algemene oplossing van het bijbehorende homogene stelsel).
Bekijk het volgende stelsel lineaire vergelijkingen in de onbekenden #x#, #y# en #z#:
\[\lineqs{x-y +z &=& 9\cr x+y+z &=& 1\cr}\]
Het stelsel is inhomogeen, want de rechter leden zijn niet (allemaal) gelijk aan #0#.
Een particuliere oplossing van dit stelsel is #\rv{x,y,z} = \rv{5,-4,0}#.
Het bijbehorende homogene stelsel is
\[\lineqs{x-y +z &=& 0\cr x+y+z &=& 0\cr}\]
De oplossing van dit homogene stelsel is #\rv{x,y,z} = \rv{-z,0,z}#.
Volgens de stelling is de (algemene) oplossing van het inhomogene stelsel
\[\rv{x,y,z} = \rv{5,-4,0}+\rv{-z,0,z} = \rv{5-z,-4,z}\]
Stel dat \(p=\rv{p_1,p_2,\ldots,p_n}\) een oplossing is van het inhomogene stelsel \[\left\{\;\begin{array}{lllllllll} a_{11}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{12}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{1n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_1\\ a_{21}x_1 \!\!&+&\!\! a_{22}x_2 \!\!&+&\!\! \cdots \!\!&+&\!\! a_{2n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_2\\ \vdots &&\vdots &&&& \vdots&&\!\!\!\!\vdots\\ a_{m1}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{m2}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{mn}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_m\end{array}\right.\] Dan geldt voor elke \(i\) met \(1\le i\le m\): \[a_{i1}p_1+a_{i2}p_2+\cdots+a_{in}p_n=b_i\]
Als \(h=\rv{h_1,h_2,\ldots,h_n}\) behoort tot \( H\), dan geldt voor elke \(i\) met \(1\le i \le m\): \[ a_{i1}h_1+a_{i2}h_2+\cdots+a_{in}h_n=0\] dus \[\begin{array}{ll} a_{i1}(p_1+h_1)+a_{i2}(p_2+h_2)+\cdots+a_{in}(p_n+h_n) & \\ \quad = a_{i1}p_1+a_{i1}h_1+a_{i2}p_2+a_{i2}h_2+\cdots+a_{in}p_n+a_{in}h_n & \\ \quad = (a_{i1}p_1+a_{i2}p_2+\cdots+a_{in}p_n) +(a_{i1}h_1+a_{i2}h_2+\cdots+a_{in}h_n) & \\ \quad = b_i+0 & \\ \quad = b_i & \end{array}\] Met andere woorden, \(p+h\) is een oplossing van het inhomogene stelsel. Dit bewijst dat elke som van een particuliere oplossing en een homogene oplossing weer een oplossing van het oorspronkelijke stelsel is.
Omgekeerd, stel dat \(o=\rv{o_1, o_2, \ldots, o_n}\) een willekeurig gekozen oplossing van het inhomogene stelsel is. Dan geldt voor elke \(i\) met \(1\le i \le m\): \[a_{i1}o_1+a_{i2}o_2+\cdots+a_{in}o_n=b_i\] Merk op dat \( o=p+(o-p)\), waarbij \(p\) de particuliere oplossing is. We tonen nu aan dat \(o-p\) tot \( H\), dat wil zeggen, dat \(o-p\) een oplossing is van het bijbehorende homogene stelsel. Voor elke \(i\) met \(1\le i\le m\) geldt: \[\begin{array}{ll} a_{i1}(o_1-p_1)+a_{i2}(o_2-p_2)+\cdots+a_{in}(o_n-p_n) & \\ \quad = a_{i1}o_1-a_{i1}p_1+a_{i2}o_2-a_{i2}p_2+\cdots+a_{in}o_n-a_{in}p_n & \\ \quad = (a_{i1}o_1+a_{i2}o_2+\cdots+a_{in}o_n) -(a_{i1}p_1+a_{i2}p_2+\cdots+a_{in}p_n) & \\ \quad = b_i-b_i & \\ \quad = 0 & \end{array}\] Hieruit volgt dat \(o\) behoort tot \( p+H\); in woorden: elke oplossing van het inhomogene stelsel is de som van de particuliere oplossing #p# en een homogene oplossing.
De stelling laat zien dat de oplossingen van homogene stelsels de bijzondere eigenschap hebben dat de som van twee oplossingen weer een oplossing is. Maar meer is waar:
De som van twee oplossingen van een homogeen stelsel vergelijkingen is ook een oplossing van hetzelfde stelsel.
Als een oplossing van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen met een factor vermenigvuldigd wordt, dan is het ook een oplossing van hetzelfde stelsel.
Bekijk nogmaals het volgende homogene stelsel lineaire vergelijkingen in de onbekenden #x#, #y# en #z#:
\[\lineqs{x-y +z &=& 0\cr x+y+z &=& 0\cr}\]
De oplossing van dit stelsel is #\rv{x,y,z} = \rv{-z,0,z}#. Elke oplossing is dus van de vorm #z\cdot \rv{-1,0,1}#.
Optelling van de oplossingen #z_1\cdot \rv{-1,0,1}# en #z_2\cdot \rv{-1,0,1}# geeft de oplossing #(z_1+z_2)\cdot \rv{-1,0,1}#.
Vermenigvuldiging van de oplossing #z\cdot \rv{-1,0,1}# met de scalar #\lambda# geeft de oplossing #(\lambda \cdot z)\cdot \rv{-1,0,1}#.
De eerste uitspraak volgt uit de voorgaande stelling. Als er immers twee oplossingen van het homogene stelsel zijn, dan kunnen we de eerste oplossing opvatten als een particuliere en de tweede als een oplossing van het bijbehorende homogene stelsel. De stelling geeft dan dat de som een oplossing is van het oorspronkelijk, in dit geval homogene, stelsel.
De tweede uitspraak maakt ook gebruik dat van het feit dat de constante term gelijk is aan #0#. We geven het bewijs voor het geval van één vergelijking met twee onbekenden #x# en #y#. Het algemene bewijs gaat net zo. We gaan dus uit van een lineaire vergelijking die de vorm in #a\cdot x + b\cdot y=0# heeft, waarbij #a# en #b# constanten zijn. Als #\rv{x,y}# een oplossing is en #\lambda# een constante, dan moeten we vaststellen dat ook #\lambda\cdot \rv{x,y} #, wat gelijk is aan #\rv{\lambda\cdot x,\lambda\cdot y}# een oplossing van de gegeven vergelijking is. Dit is inderdaad het geval:
\[a\cdot(\lambda\cdot x) + b\cdot (\lambda\cdot y)=\lambda\cdot(a\cdot x + b\cdot y)=\lambda\cdot 0=0\]
Stel een lineaire vergelijking op in de parameters \(a\) en \(b\) opdat het volgende stelsel lineaire vergelijkingen oplosbaar is:
\[\eqs{2 x+4 y&=&a\cr 8 x+16 y &=&b\cr}\]
\(b=4 a\)
Trek 4 keer de eerste vergelijking van de tweede vergelijking af. Dit geeft \(0=b-4 a\), oftewel \(b=4 a\).
Als #b# gelijk is aan #4 a#, dan is de tweede vergelijking een veelvoud van de eerste, en dus overbodig. Het is duidelijk dat de eerste vergelijking dan een oplossing heeft.
De conclusie is dat het gegeven stelsel dan en slechts dan een oplossing heeft als \(b=4 a\).
Homogene en inhomogene stelsels
