Stel dat $p=\rv{p_1,p_2,\ldots,p_n}$ een oplossing is van het inhomogene stelsel

$$\left\{\;\begin{array}{lllllllll} a_{11}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{12}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{1n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_1\\ a_{21}x_1 \!\!&+&\!\! a_{22}x_2 \!\!&+&\!\! \cdots \!\!&+&\!\! a_{2n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_2\\ \vdots &&\vdots &&&& \vdots&&\!\!\!\!\vdots\\ a_{m1}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{m2}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{mn}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_m\end{array}\right.$$ Dan geldt voor elke $i$ met $1\le i\le m$: $$a_{i1}p_1+a_{i2}p_2+\cdots+a_{in}p_n=b_i$$

Als $h=\rv{h_1,h_2,\ldots,h_n}$ behoort tot $H$, dan geldt voor elke $i$ met $1\le i \le m$:

$$a_{i1}h_1+a_{i2}h_2+\cdots+a_{in}h_n=0$$ dus $$\begin{array}{ll} a_{i1}(p_1+h_1)+a_{i2}(p_2+h_2)+\cdots+a_{in}(p_n+h_n) & \\ \quad = a_{i1}p_1+a_{i1}h_1+a_{i2}p_2+a_{i2}h_2+\cdots+a_{in}p_n+a_{in}h_n & \\ \quad = (a_{i1}p_1+a_{i2}p_2+\cdots+a_{in}p_n) +(a_{i1}h_1+a_{i2}h_2+\cdots+a_{in}h_n) & \\ \quad = b_i+0 & \\ \quad = b_i & \end{array}$$ Met andere woorden, $p+h$ is een oplossing van het inhomogene stelsel. Dit bewijst dat elke som van een particuliere oplossing en een homogene oplossing weer een oplossing van het oorspronkelijke stelsel is.

Omgekeerd, stel dat $o=\rv{o_1, o_2, \ldots, o_n}$ een willekeurig gekozen oplossing van het inhomogene stelsel is. Dan geldt voor elke $i$ met $1\le i \le m$:

$$a_{i1}o_1+a_{i2}o_2+\cdots+a_{in}o_n=b_i$$ Merk op dat $o=p+(o-p)$, waarbij $p$ de particuliere oplossing is. We tonen nu aan dat $o-p$ tot $H$, dat wil zeggen, dat $o-p$ een oplossing is van het bijbehorende homogene stelsel. Voor elke $i$ met $1\le i\le m$ geldt: $$\begin{array}{ll} a_{i1}(o_1-p_1)+a_{i2}(o_2-p_2)+\cdots+a_{in}(o_n-p_n) & \\ \quad = a_{i1}o_1-a_{i1}p_1+a_{i2}o_2-a_{i2}p_2+\cdots+a_{in}o_n-a_{in}p_n & \\ \quad = (a_{i1}o_1+a_{i2}o_2+\cdots+a_{in}o_n) -(a_{i1}p_1+a_{i2}p_2+\cdots+a_{in}p_n) & \\ \quad = b_i-b_i & \\ \quad = 0 & \end{array}$$ Hieruit volgt dat $o$ behoort tot $p+H$; in woorden: elke oplossing van het inhomogene stelsel is de som van de particuliere oplossing $p$ en een homogene oplossing.

De eerste uitspraak volgt uit de voorgaande stelling. Als er immers twee oplossingen van het homogene stelsel zijn, dan kunnen we de eerste oplossing opvatten als een particuliere en de tweede als een oplossing van het bijbehorende homogene stelsel. De stelling geeft dan dat de som een oplossing is van het oorspronkelijk, in dit geval homogene, stelsel.

De tweede uitspraak maakt ook gebruik dat van het feit dat de constante term gelijk is aan $0$. We geven het bewijs voor het geval van één vergelijking met twee onbekenden $x$ en $y$. Het algemene bewijs gaat net zo. We gaan dus uit van een lineaire vergelijking die de vorm in $a\cdot x + b\cdot y=0$ heeft, waarbij $a$ en $b$ constanten zijn. Als $\rv{x,y}$ een oplossing is en $\lambda$ een constante, dan moeten we vaststellen dat ook $\lambda\cdot \rv{x,y}$, wat gelijk is aan $\rv{\lambda\cdot x,\lambda\cdot y}$ een oplossing van de gegeven vergelijking is. Dit is inderdaad het geval:

$$a\cdot(\lambda\cdot x) + b\cdot (\lambda\cdot y)=\lambda\cdot(a\cdot x + b\cdot y)=\lambda\cdot 0=0$$