Stelsels lineaire vergelijkingen en matrices: Stelsels lineaire vergelijkingen
Homogene en inhomogene stelsels
Homogeen/inhomogeen stelsel Een stelsel van lineaire vergelijkingen met onbekenden is via elementaire bewerkingen te herleiden tot de volgende basisvorm Hierbij zijn alle en met en reële of complexe getallen. De getallen noemen we de coëfficiënten van het stelsel. De getallen noemen we de rechter leden van het stelsel.
Een stelsel lineaire vergelijkingen waarbij de rechter leden in bovenstaande basisvorm allemaal gelijk aan nul zijn heet een homogeen stelsel; een algemeen stelsel heet inhomogeen. Het stelsel vergelijkingen dat uit een inhomogeen stelsel wordt verkregen door de rechter leden door nul te vervangen heet het bijbehorende homogene stelsel. Bovenstaand stelsel vergelijkingen heeft dus als bijbehorend homogeen stelsel
Elke vergelijking is geschreven in een vorm die alleen afwijkt van de eerder besproken basisvorm, doordat de constanten nu rechts van het gelijkheidsteken staan en eerder links.
Bovendien staan de onbekenden bij elke vergelijking van het stelsel in dezelfde volgorde.
Algemene en particuliere oplossing
De oplossingen van een inhomogeen stelsel lineaire vergelijkingen zijn van de vorm , waarbij een vast gekozen oplossing van het inhomogene stelsel is (de zogenaamde particuliere oplossing) en alle oplossingen van het bijbehorende homogene stelsel doorloopt (oftewel is de algemene oplossing van het bijbehorende homogene stelsel).
De stelling laat zien dat de oplossingen van homogene stelsels de bijzondere eigenschap hebben dat de som van twee oplossingen weer een oplossing is. Maar meer is waar:
Lineaire structuur van de oplossing van homogene stelsels lineaire vergelijkingen
De som van twee oplossingen van een homogeen stelsel vergelijkingen is ook een oplossing van hetzelfde stelsel.
Als een oplossing van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen met een factor vermenigvuldigd wordt, dan is het ook een oplossing van hetzelfde stelsel.
Tel 2 keer de eerste vergelijking bij de tweede vergelijking op. Dit geeft , oftewel .
Als gelijk is aan , dan is de tweede vergelijking een veelvoud van de eerste, en dus overbodig. Het is duidelijk dat de eerste vergelijking dan een oplossing heeft.
De conclusie is dat het gegeven stelsel dan en slechts dan een oplossing heeft als .
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.