Van stelsels naar matrices

Stelsels lineaire vergelijkingen en matrices: Van stelsels naar matrices en rijreductie

Van stelsels naar matrices

De veegmethode, waarbij stelsels lineaire vergelijkingen opgelost worden met elementaire bewerkingen, werkt eigenlijk alleen met de coëfficiënten en constanten van het stelsel. Daarbij kan een goede boekhouding in de vorm van een korte notatie helpen.

Het stelsel van \(m\) lineaire vergelijkingen met \(n\) onbekenden \(x_1, \ldots, x_n\) \[\left\{\;\begin{array}{llllllllll} a_{11}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{12}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{1n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_1\\ a_{21}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{22}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{2n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_2\\ \;\;\vdots && \vdots &&&& \vdots&&\!\!\!\!\vdots\\ a_{m1}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{m2}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{mn}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_m\end{array}\right.\] wordt vaak als volgt geschreven:

\[\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}b_1\\ \vdots \\ b_m\end{pmatrix}\]

Zo'n rechthoekig schema heet een matrix en wordt vaak in een kader van ronde haken gebruikt. Omdat de onbekenden \(x_1, \ldots, x_n\) en hun volgorde niet veranderen tijdens het oplossingsproces, wordt het stelsel ook wel weergeven door de matrix \[\left(\,\begin{array}{cccc|c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m\end{array}\,\right)\] De verticale streep is hier getrokken om aan te geven dat de laatste kolom het rechter lid van het stelsel voorstelt. In het algemeen wordt deze streep echter weggelaten. Deze matrix heet de aangevulde matrix van het stelsel; 'aangevuld' omdat de matrix te lezen is als \[(A|\vec{b})\] waarbij \(A\) staat voor de coëfficiëntenmatrix van het stelsel en \(\vec{b}\) voor de kolom van getallen die de rechter leden van de vergelijkingen zijn: \[A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\quad\mathrm{en}\quad \vec{b}=\cv{b_1 \cr \vdots\cr b_m\cr}\]

Met deze notatie en met #\vec{x} =\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}#, kunnen we de bovenstaande stelsel verkort weergeven als \[A\vec{x} = \vec{b}\]

Een systematische wijze om het stelsel vergelijkingen te beschrijven is:

\[\begin{array}{|cccc|c|} \hline
{x_{1}} & x_{2} & \cdots & x_{n} & \\ \hline
{a_{11}} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} &\cdots & a_{mn} & b_m \\ \hline \end{array}\]
De namen van de onbekenden zijn meestal bekend en daarom kunnen we de bovenste rij eigenlijk wel weglaten: \[\begin{array}{|cccc|c|} \hline
{a_{11}} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} &\cdots & a_{mn} & b_m \\ \hline \end{array}\]

Wat overblijft is een rechthoekig getallenschema voor de coëfficiënten en rechter leden van het stelsel lineaire vergelijkingen.

Homogeen

Als de kolomvector \(\vec{b}\) alleen uit nullen bestaat, dan is het stelsel homogeen. In dit geval is de coëfficiëntenmatrix voldoende om het stelsel te beschrijven.

Later zullen we het product van een matrix met een kolomvector introduceren. Dan zal duidelijk worden dat het gegeven stelsel lineaire vergelijkingen in matrixnotatie te schrijven is als \[\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}b_1\\ \vdots \\ b_m\end{pmatrix}\]

waarbij #\cdot# de vermenigvuldiging aangeeft. In verkorte notatie wordt dit dan \[A\cdot \vec{x} =\vec{b}\] Overigens laten we meestal het symbool #\cdot# voor vermenigvuldiging weg en schrijven we \[\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\!\!\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}b_1\\ \vdots \\ b_m\end{pmatrix}\] en \[A\vec{x} =\vec{b}\]

Vectorvorm

Eerder hebben we al een andere vorm besproken om een stelsel lineaire vergelijkingen weer te geven: de vectorvorm. Ook hierin komt elke onbekende hooguit één keer voor en wel als scalar van een vector die overeenkomt met een kolom van de coëfficëntenmatrix.

Schrijf het homogene stelsel van lineaire vergelijkingen in onbekenden \(x,y,z\) (in deze volgorde) op dat de volgende coëfficiëntenmatrix heeft: \[\left(\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \]

Stelsel: \[\lineqs{ -x+y-z&=&0\cr 2 x+3 z&=&0\cr x+z&=&0 }\]

Nieuw voorbeeld