Een gevolg van deze stelling is het bekende feit dat de $(n\times n)$-nulmatrix de enige matrix is van de nulafbeelding van een $n$-dimensionale vectorruimte naar zichzelf.

Ook een gevolg van deze stelling is het bekende feit dat de $(n\times n)$-identiteitsmatrix de enige matrix is van de identieke afbeelding van een $n$-dimensionale vectorruimte naar zichzelf.

Een ander gevolg is dat bij elke lineaire afbeelding van een $1$-dimensionale vectorruimte naar zichzelf een unieke matrix hoort. Immers, die afbeelding moet een scalaire vermenigvuldiging zijn en de matrix moet de scalair zijn waarmee vermenigvuldigd wordt.

Voorbeeld

Het bepalen of twee $(n\times n)$-matrices $A$ en $B$ geconjugeerd zijn komt grotendeels neer op het oplossen van lineaire vergelijkingen: we beginnen met het oplossen van de matrixvergelijking $$B \, T= T\, A\phantom{xxx}\text{in de onbekende }\phantom{xxx}T$$ en zoeken vervolgens naar een inverteerbare matrix onder de oplossingen. Hier is een voorbeeld: Stel $$A = \matrix{1&0\\ 0& -1}\phantom{xxx}\text { en }\phantom{xxx} B = \matrix{1&1\\ 0& 1}$$ Als $A$ en $B$ geconjugeerd zijn, dan is er een inverteerbare $(2\times2)$-matrix $T$ met $B = TAT^{-1}$.

Na vermenigvuldiging van rechts met $T$ geeft dit de lineaire matrixvergelijking $$B\,T = T\,A$$ Schrijven we $$T =\matrix{x&y\\ z&w}$$ dan gaat de matrixvergelijking na uitwerking van de matrixvermenigvuldigingen over in $$\matrix{x+z& y+w\\ z & w} = \matrix{x&-y\\ z&-w}$$ en dus in het stelsel lineaire vergelijkingen $$\lineqs{ x+z &=& x\\ y+w &=& -y\\ z &=& z\\ w &=& -w}$$ Dit stelsel heeft als oplossing $$T = \matrix{x&y\\ z&w} = \matrix{x&0\\0&0}$$ waarbij $x$ een vrije parameter is. Zo'n matrix $T$ is niet inverteerbaar, zodat $A$ en $B$ niet geconjugeerd zijn. Met andere woorden: Er is geen basis van $\mathbb{R}^2$ ten opzichte waarvan de lineaire afbeelding met matrix $A$ ten opzichte van de standaardbasis de matrix $B$ heeft.

In dit geval kun je al direct zien dat $A$ en $B$ niet geconjugeerd zijn omdat ze verschillende determinant hebben. Later bespreken we de bepaling van de Jordannormaalvorm van een vierkante matrix; deze methode is veel efficiënter.

Invarianten Omdat geconjugeerde matrices bij dezelfde lineaire afbeelding horen, delen zij alle eigenschappen van deze afbeelding. Hierboven zagen we al dat geconjugeerde matrices dezelfde determinant hebben. Andere eigenschappen die geconjugeerde matrices delen, zijn spoor, karakteristieke veelterm, rang en minimumveelterm. Twee matrices waarvan één of meer van deze eigenschappen verschillen, zijn niet geconjugeerd.

Een eigenschap van een matrix van een lineaire afbeelding die niet afhangt van de gekozen basis heet een invariant.

Dankzij een stelling die we later behandelen, kun je aan de karakteristieke veelterm direct zien of twee $(2\times 2)$-matrices geconjugeerd zijn of niet. Dat geldt echter niet voor matrices met grotere afmetingen.