We bestuderen de deelruimten opgespannen door de rijen, respectievelijk de kolommen, van een matrix. Vervolgens gaan we in op het verband met stelsels lineaire vergelijkingen.
De kolommenruimte is eerder ingevoerd, maar we behandelen deze nu nog een keer in samenhang met de rijenruimte:
Bekijk een reële -matrix .
- Elke rij van heeft lengte , zodat de rijen in liggen. De door de rijen opgespannen deelruimte van heet de rijenruimte van .
- Net zo ligt ieder van de kolommen van in . De door de kolommen opgespannen deelruimte van heet de kolommenruimte van .
De rijen getallen ter lengte , maar geschreven in een kolom, vatten we ook op als elementen van , en rijen vatten we ook wel op als kolommen als dat uitkomt. Natuurlijk proberen we dit alleen te doen waar dit geen verwarring oplevert. We schrijven bijvoorbeeld: het stelsel met , terwijl een kolomvector is.
Van de matrix
is de rijenruimte
en de kolommenruimte
Eerder hebben we al gezien dat de kolommenruimte gelijk is aan het beeld van de lineaire afbeelding bepaald door . Omdat de kolommen van de rijenruimte van opspannen, is de rijenruimte van gelijk aan het beeld van de lineaire afbeelding bepaald door .
De rijenruimte en de kolommenruimte van een matrix hebben in het algemeen weinig met elkaar te maken. In de regel zijn ze zelfs deelruimten van verschillende vectorruimten. Toch zijn hun dimensies gelijk, zoals we hieronder zullen zien.
In de stelling Trapvorm en onafhankelijkheid hebben we gezien dat de dimensie van de rijenruimte de rang van de matrix is. Het begrip rang is eerder ingevoerd als het aantal rijen ongelijk aan de nulrij in een trapvorm van de matrix. We zullen schrijven voor de rang van .
We laten nu zien dat de rang gelijk is aan de dimensie van de kolommenruimte.
Voor iedere matrix is de dimensie van de rijenruimte gelijk aan de dimensie van de kolommenruimte. Dit getal is gelijk aan de rang van .
Voor alle afmetingen van twee willekeurige matrices en die zodanig zijn dat het matrixproduct is gedefinieerd, geldt dat gelijk is aan een matrix waarvan de kolommen lineaire combinaties zijn van de kolommen van en de rijen lineaire combinaties van de rijen van . Deze uitspraak is een direct gevolg van de `rij maal kolom' definitie van het matrixproduct. We lichten de uitspraak toe in onderstaand voorbeeld: De eerste kolom van is een lineaire combinatie van de kolommen van : en dat geldt ook voor de tweede kolom van : Bovendien is de eerste rij van een lineaire combinatie van de rijen van : en dat geldt ook voor de tweede rij van :
Veronderstel nu dat de kolommen van een gegeven -matrix een deelruimte van van dimensie opspannen. Laat een basis van deze ruimte zijn. Verzamel deze vectoren als kolommen in een -matrix . Elk van de kolommen van is een lineaire combinatie van deze kolommen; deze lineaire combinaties vangen we in één matrixproduct
waarin een -matrix is. Nu concentreren we ons op de rijen in deze gelijkheid. De matrixvergelijking is ook te lezen als: elke rij van is een lineaire combinatie van de rijen van . Omdat het aantal rijen van gelijk is aan , kan de rijenruimte hooguit dimensie hebben. Dus
Door deze ongelijkheid toe te passen op en op te merken dat de dimensie van de rijenruimte (respectievelijk kolommenruimte) van gelijk is aan de dimensie van de kolommenruimte (respectievelijk rijenruimte) van vinden we ook
De twee ongelijkheden impliceren dat de twee dimensies gelijk zijn: , wat te bewijzen was.
Laat een -matrix zijn. In dit bewijs gebruiken we de gelijkheid
waarbij behoort tot en tot . We zien beide vectoren als kolomvectoren. Het standaardinproduct in het linker lid is gedefinieerd voor vectoren van en het standaardinproduct in het rechter lid voor vectoren van .
Deze gelijkheid volgt uit het feit dat voor -matrices geldt , en de productregel voor getransponeerde matrices , zodat beide leden te schrijven zijn als het matrixproduct , waarbij de rijvector is die bij hoort, opgevat als -matrix.
In termen van de lineaire afbeeldingen bepaald door en kunnen we de gelijkheid schrijven als
We leiden hieruit af:
Dit is als volgt in te zien
Uit deze gelijkheid van deelruimten volgt gelijkheid van de bijbehorende dimensies. Hieruit leiden we de stelling af:
Het rechter lid van de tweede gelijkheid is gelijk aan het rechter lid van de eerste gelijkheid vanwege de Dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen.
Omdat de kolommenruimte van is en de rijenruimte, volgt de stelling uit de laatste gelijkheid.
Uit de bewijzen is af te leiden dat de rang van een -matrix ten hoogste het minimum van en is. De rang is alleen gelijk aan als de matrix de nulmatrix is.
Een -matrix ongelijk aan de nulmatrix heeft dan en slechts dan rang ten hoogste als er een kolomvector is ter lengte (dat wil zeggen: een -matrix) en een rijvector ter lengte (dat wil zeggen: een -matrix), zodat . Het bewijs hiervan is af te lezen uit het bewijs van de stelling.
Bijvoorbeeld
Algemener: het (gewone) bewijs van de stelling laat zien dat de rang van dan en slechts dan hoogstens is als er een -matrix en een -matrix zijn, zodat .
In Oplosbaarheid van stelsels lineaire vergelijkingen zagen we dat elementaire bewerkingen de rang van een matrix, en dus de (on)afhankelijkheid van de rijen van die matrix, niet veranderen. Nu we weten dat de dimensie van de rijenruimte gelijk is aan de dimensie van de kolommenruimte, zien we dat elementaire bewerkingen de (on)afhankelijkheid van de kolommen van een matrix ook niet veranderen.
Eerder is vastgesteld dat het stelsel vergelijkingen dan en slechts dan een oplossing heeft als tot de kolommenruimte van behoort, en dat er precies één oplossing is als de kolommen van onafhankelijk zijn. Dankzij bovenstaande stelling kunnen we het volgende concluderen.
Laat een -matrix zijn. Het stelsel vergelijkingen heeft dan en slechts dan voor elke vector in hoogstens één oplossing als de rang van gelijk is aan . In dat geval is .
Als niet in ligt, dan zijn er geen oplossingen. Als wel in ligt, dan bestaat elke oplossing uit de coördinaten van ten opzichte van de basis van bestaande uit de kolommen van . Deze coördinaten zijn uniek omdat de kolommen een basis vormen.
In het geval dat de rang van gelijk is aan , volgt de ongelijkheid uit het ongerijmde, aangezien tot gevolg heeft dat de matrix rang ten hoogste , dus lager dan heeft, een tegenspraak.
Het bepalen van de rang van een matrix is rechttoe rechtaan: we vegen de matrix naar een trapvorm en tellen het aantal rijen ongelijk aan de nulrij. Bovenstaande stelling laat zien dat we de rang ook uit kunnen rekenen door te vegen met kolommen.
Bepaal de rang van de matrix
Om de rang te berekenen vereenvoudigen we eerst de matrix met behulp van elementaire rij- en kolombewerkingen. De rang verandert niet onder deze bewerkingen. We gaan hiermee door tot duidelijk is hoeveel onafhankelijke rijen (of kolommen) de matrix heeft. In het commentaar in blauw hieronder, schrijven we voor kolombewerkingen en, als gewoonlijk, voor rijbewerkingen.
De -matrix rechtsonder heeft duidelijk rang (het aantal onafhankelijke rijen). Hieruit volgt dat de rang van gelijk is aan .