We bestuderen de deelruimten opgespannen door de rijen, respectievelijk de kolommen, van een matrix. Vervolgens gaan we in op het verband met stelsels lineaire vergelijkingen.
De kolommenruimte is eerder ingevoerd, maar we behandelen deze nu nog een keer in samenhang met de rijenruimte:
Bekijk een reële #(m\times n)#-matrix #A#.
- Elke rij van #A# heeft lengte #n#, zodat de rijen in #\mathbb{R}^n# liggen. De door de rijen opgespannen deelruimte van #\mathbb{R}^n# heet de rijenruimte van #A#.
- Net zo ligt ieder van de kolommen van #A# in #\mathbb{R}^m#. De door de kolommen opgespannen deelruimte van #\mathbb{R}^m# heet de kolommenruimte van #A#.
De rijen getallen ter lengte #n#, maar geschreven in een kolom, vatten we ook op als elementen van #\mathbb{R}^n#, en rijen vatten we ook wel op als kolommen als dat uitkomt. Natuurlijk proberen we dit alleen te doen waar dit geen verwarring oplevert. We schrijven bijvoorbeeld: het stelsel #A\vec{x}=\vec{b}# met #\vec{x}\in \mathbb{R}^n#, terwijl #\vec{x}# een kolomvector is.
Van de matrix
\[ A=\left(\begin{array}{cccc}
1&-1&3&7 \\
2&1&1&5
\end{array}\right) \] is de rijenruimte
\[
\linspan{\rv{1,-1,3,7},\rv{2,1,1,5}}\ \subseteq \mathbb{R}^4
\] en de kolommenruimte
\[
\linspan{\cv{1\\ 2},\cv{-1\\ 1},\cv{3\\ 1},\cv{7\\ 5}}\ \subseteq \mathbb{R}^2\]
Eerder hebben we al gezien dat de kolommenruimte gelijk is aan het beeld van de lineaire afbeelding #L_A# bepaald door #A#. Omdat de kolommen van #A^\top# de rijenruimte van #A# opspannen, is de rijenruimte van #A# gelijk aan het beeld van de lineaire afbeelding #L_{A^\top}# bepaald door #A^\top#.
De rijenruimte en de kolommenruimte van een matrix hebben in het algemeen weinig met elkaar te maken. In de regel zijn ze zelfs deelruimten van verschillende vectorruimten. Toch zijn hun dimensies gelijk, zoals we hieronder zullen zien.
In de stelling Trapvorm en onafhankelijkheid hebben we gezien dat de dimensie van de rijenruimte de rang van de matrix is. Het begrip rang is eerder ingevoerd als het aantal rijen ongelijk aan de nulrij in een trapvorm van de matrix. We zullen #\text{rang}(A)# schrijven voor de rang van #A#.
We laten nu zien dat de rang gelijk is aan de dimensie van de kolommenruimte.
Voor iedere matrix #A# is de dimensie van de rijenruimte gelijk aan de dimensie van de kolommenruimte. Dit getal is gelijk aan de rang van #A#.
Voor alle afmetingen van twee willekeurige matrices #P# en #Q# die zodanig zijn dat het matrixproduct #P\,Q# is gedefinieerd, geldt dat #P\,Q# gelijk is aan een matrix #R# waarvan de kolommen lineaire combinaties zijn van de kolommen van #P# en de rijen lineaire combinaties van de rijen van #Q#. Deze uitspraak is een direct gevolg van de `rij maal kolom' definitie van het matrixproduct. We lichten de uitspraak toe in onderstaand voorbeeld: \[
\underbrace{\matrix{ 1 & 3 & -1 \\ 2 & -2 & 5 }}_{P}\underbrace{\matrix{ 3 & 1\\ 2 & -4 \\ 6 & 2 }}_{Q}=\underbrace{\matrix{ 3 & -13\\ 32 & 20 }}_{R}\] De eerste kolom van #R# is een lineaire combinatie van de kolommen van #P#: \[ \matrix{1 & 3 & -1 \\ 2 & -2 & 5}\cv{3 \\ 2 \\ 6}=3\cv{1\\ 2}+2\cv{3\\ -2}+6\cv{-1\\ 5}=\cv{3\\32}\] en dat geldt ook voor de tweede kolom van #R#: \[
\matrix{1 & 3 & -1 \\ 2 & -2 & 5}\cv{1 \\ -4 \\ 2}=\cv{1\\ 2}-4\cv{3\\ -2}+2\cv{-1\\ 5}=\cv{-13\\20}\] Bovendien is de eerste rij van #R# een lineaire combinatie van de rijen van #Q#: \[
\matrix{1&3&-1}\matrix{ 3 & 1\\ 2 & -4 \\ 6 & 2 }=\matrix{3&1}+3\matrix{2&-4}-\matrix{6&2}=\matrix{3& -13}\] en dat geldt ook voor de tweede rij van #R#: \[
\matrix{2&-2&5}\matrix{3 & 1\\ 2 & -4 \\ 6 & 2}=2\matrix{3&1}-2\matrix{2&-4}+5\matrix{6&2}=\matrix{32&20}\]
Veronderstel nu dat de kolommen van een gegeven #(m\times n)#-matrix #A# een deelruimte van #\mathbb{R}^m# van dimensie #k# opspannen. Laat #\basis{\vec{c}_1,\ldots ,\vec{c}_k}# een basis van deze ruimte zijn. Verzamel deze vectoren als kolommen in een #(m\times k)#-matrix #C#. Elk van de #n# kolommen van #A# is een lineaire combinatie van deze #k# kolommen; deze lineaire combinaties vangen we in één matrixproduct
\[
C\, X=A
\] waarin #X# een #(k\times n)#-matrix is. Nu concentreren we ons op de rijen in deze gelijkheid. De matrixvergelijking #C\,X=A# is ook te lezen als: elke rij van #A# is een lineaire combinatie van de rijen van #X#. Omdat het aantal rijen van #X# gelijk is aan #k#, kan de rijenruimte hooguit dimensie #k# hebben. Dus
\[
\dim{\text{rijenruimte}} \leq \dim{\text{kolommenruimte}}
\] Door deze ongelijkheid toe te passen op #A^{\top}# en op te merken dat de dimensie van de rijenruimte (respectievelijk kolommenruimte) van #A^{\top}# gelijk is aan de dimensie van de kolommenruimte (respectievelijk rijenruimte) van #A# vinden we ook
\[
\dim{\text{kolommenruimte}} \leq \dim {\text{rijenruimte}}
\]De twee ongelijkheden impliceren dat de twee dimensies gelijk zijn: \(\dim{\text{kolommenruimte}} = \dim {\text{rijenruimte}}\), wat te bewijzen was.
Laat #A# een #(m\times n)#-matrix zijn. In dit bewijs gebruiken we de gelijkheid
\[\dotprod{(A\vec{x})}{\vec{y}}= \dotprod{\vec{x}}{(A^\top\vec{y})}\]
waarbij #\vec{x}# behoort tot #\mathbb{R}^n# en #\vec{y}# tot #\mathbb{R}^m#. We zien beide vectoren als kolomvectoren. Het standaardinproduct in het linker lid is gedefinieerd voor vectoren van #\mathbb{R}^m# en het standaardinproduct in het rechter lid voor vectoren van #\mathbb{R}^n#.
Deze gelijkheid volgt uit het feit dat voor #(1\times1)#-matrices #(a)# geldt #(a)^\top = (a)#, en de productregel voor getransponeerde matrices \((A\,B)^{\top}=B^{\top}A^{\top}\), zodat beide leden te schrijven zijn als het matrixproduct \(\vec{x}^\top A^\top\vec{y}\), waarbij #\vec{x}^\top# de rijvector is die bij #\vec{x}# hoort, opgevat als #(1\times n)#-matrix.
In termen van de lineaire afbeeldingen bepaald door #A# en #A^\top# kunnen we de gelijkheid schrijven als
\[\dotprod{L_A(\vec{x})}{\vec{y}}= \dotprod{\vec{x}}{L_{A^\top}(\vec{y})}\]
We leiden hieruit af:
\[\left(\im{L_A}\right)^\perp = \ker{L_{A^\top}}\]
Dit is als volgt in te zien
\[\begin{array}{rcl}\vec{y}\in \left(\im{L_A}\right)^\perp&\Leftrightarrow&\dotprod{L_A(\vec{x})}{\vec{y}}=0\text{ voor alle }\vec{x}\in\mathbb{R}^n\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van im en }\perp}\\ &\Leftrightarrow&\dotprod{\vec{x}}{L_{A^\top}(\vec{y})}=0\text{ voor alle }\vec{x}\in\mathbb{R}^n\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{zie hierboven}}\\&\Leftrightarrow&L_{A^\top}(\vec{y})=\vec{0}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{alleen }\vec{0}\text{ staat loodrecht op alle }\vec{x}\in\mathbb{R}^n}\\ &\Leftrightarrow&\vec{y}\in\ker{L_{A^\top}}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van ker}}\\ \end{array}\]
Uit deze gelijkheid van deelruimten volgt gelijkheid van de bijbehorende dimensies. Hieruit leiden we de stelling af:
\[\begin{array}{rcl}\dim{\left(\im{L_A}\right)^\perp} &=&\dim{ \ker{L_{A^\top}}}\\ m-\dim{\im{L_A}} &=&m-\dim{ \im{L_{A^\top}}}\\ \dim{\im{L_A}} &=&\dim{ \im{L_{A^\top}}}\end{array}\]
Het rechter lid van de tweede gelijkheid is gelijk aan het rechter lid van de eerste gelijkheid vanwege de Dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen.
Omdat \(\im{L_A}\) de kolommenruimte van #A# is en \(\im{L_{A^\top}}\) de rijenruimte, volgt de stelling uit de laatste gelijkheid.
Uit de bewijzen is af te leiden dat de rang van een #(m\times n)#-matrix ten hoogste het minimum van #m# en #n# is. De rang is alleen gelijk aan #0# als de matrix de nulmatrix is.
Een #(m\times n)#-matrix #A# ongelijk aan de nulmatrix heeft dan en slechts dan rang ten hoogste #1# als er een kolomvector #P# is ter lengte #m# (dat wil zeggen: een #(m\times 1)#-matrix) en een rijvector #Q# ter lengte #n# (dat wil zeggen: een #(1\times n)#-matrix), zodat #A=P\, Q#. Het bewijs hiervan is af te lezen uit het bewijs van de stelling.
Bijvoorbeeld \[A=\matrix{1&2\\ 3&6} = \matrix{1\\ 3}\,\matrix{1&2}\]
Algemener: het (gewone) bewijs van de stelling laat zien dat de rang van #A# dan en slechts dan hoogstens #k# is als er een #(m\times k)#-matrix #P# en een #(k\times n)#-matrix #Q# zijn, zodat #A = P\, Q#.
In Oplosbaarheid van stelsels lineaire vergelijkingen zagen we dat elementaire bewerkingen de rang van een matrix, en dus de (on)afhankelijkheid van de rijen van die matrix, niet veranderen. Nu we weten dat de dimensie van de rijenruimte gelijk is aan de dimensie van de kolommenruimte, zien we dat elementaire bewerkingen de (on)afhankelijkheid van de kolommen van een matrix ook niet veranderen.
Eerder is vastgesteld dat het stelsel vergelijkingen #A\vec{x}=\vec{b}# dan en slechts dan een oplossing heeft als #\vec{b}# tot de kolommenruimte van #A# behoort, en dat er precies één oplossing is als de kolommen van #A# onafhankelijk zijn. Dankzij bovenstaande stelling kunnen we het volgende concluderen.
Laat #A# een #(m\times n)#-matrix zijn. Het stelsel vergelijkingen \[A\vec{x}=\vec{b}\] heeft dan en slechts dan voor elke vector #\vec{b}# in #\mathbb{R}^m# hoogstens één oplossing als de rang van #A# gelijk is aan #n#. In dat geval is #m\ge n#.
Als #\vec{b}# niet in #\im{A}# ligt, dan zijn er geen oplossingen. Als #\vec{b}# wel in #\im{A}# ligt, dan bestaat elke oplossing #\vec{x}# uit de coördinaten van #\vec{b}# ten opzichte van de basis van #\im{A}# bestaande uit de #n# kolommen van #A#. Deze coördinaten zijn uniek omdat de kolommen een basis vormen.
In het geval dat de rang van #A# gelijk is aan #n#, volgt de ongelijkheid #m\ge n# uit het ongerijmde, aangezien #m\lt n# tot gevolg heeft dat de matrix #A#rang ten hoogste #m#, dus lager dan #n# heeft, een tegenspraak.
Het bepalen van de rang van een matrix is rechttoe rechtaan: we vegen de matrix naar een trapvorm en tellen het aantal rijen ongelijk aan de nulrij. Bovenstaande stelling laat zien dat we de rang ook uit kunnen rekenen door te vegen met kolommen.
Bepaal de rang van de matrix \[ A = \matrix{1 & 7 & 2 \\ 2 & 14 & 40 \\ 3 & 21 & 0 \\ } \]
#\text{rang}(A) =# #2#
Om de rang te berekenen vereenvoudigen we eerst de matrix #A# met behulp van elementaire rij- en kolombewerkingen. De rang verandert niet onder deze bewerkingen. We gaan hiermee door tot duidelijk is hoeveel onafhankelijke rijen (of kolommen) de matrix heeft. In het commentaar in blauw hieronder, schrijven we #\color{blue}{C}# voor kolombewerkingen en, als gewoonlijk, #\color{blue}{R}# voor rijbewerkingen.
\[\begin{array}{rclcr}
A &=& \matrix{1 & 7 & 2 \\ 2 & 14 & 40 \\ 3 & 21 & 0 \\ }&&\\ &\sim&\matrix{1 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 36 \\ 0 & 0 & -6 \\ }&\phantom{xx}&\color{blue}{\begin{array}{c}\\ R_2\leftarrow R_2 {-2 R_1}\\ R_3\leftarrow R_3-3 R_1\end{array}}\\
&\sim&\matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 36 \\ 0 & 0 & -6 \\ }&\phantom{xx}&\color{blue}{\begin{array}{c}\\ C_2\leftarrow C_2-7 C_1\\C_3\leftarrow C_3- 2C_1\\ \end{array}}\\
\end{array}\]
De #(2\times2)#-matrix rechtsonder heeft duidelijk rang #1# (het aantal onafhankelijke rijen). Hieruit volgt dat de rang van #A# gelijk is aan #1+1 = 2#.
Rang en kolommenruimte van een matrix
