Eerder hebben we al enkele inverteerbaarheidscriteria voor lineaire afbeeldingen gezien. In verband met de stelling Lineaire afbeelding bepaald door het beeld van een basis levert dit ook inverteerbaarheidscriteria voor matrices. We voegen daar een criterium in termen van de rang aan toe.
Laat een natuurlijk getal zijn. Voor elke -matrix zijn de volgende uitspraken gelijkwaardig:
- De rang van is
- De rijen van zijn onafhankelijk
- De kolommen van zijn onafhankelijk
- De gereduceerde trapvorm van is de identiteitsmatrix
- De matrix is inverteerbaar
en : Als de rang van gelijk is aan , dan spannen zowel de rijen als de kolommen een -dimensionale ruimte op en dat betekent dat ze onafhankelijk zijn.
en : Als de rijen (of kolommen) onafhankelijk zijn, dan spannen de rijen (of kolommen) een -dimensionale ruimte op en is de rang van de matrix gelijk aan . Bovendien is dan de kolommenruimte (of rijenruimte) ook -dimensionaal en zijn dus ook de kolommen (of rijen) onafhankelijk.
De uitspraken 1, 2 en 3 zijn dus gelijkwaardig.
: De matrix en de gereduceerde trapvorm van hebben dezelfde rang. We zien uit de structuur van de gereduceerde trapvorm direct dat deze matrix rang heeft dan en slechts dan als zij de identiteitsmatrix is.
: Vanwege Inverteerbaarheidscriteria voor een lineaire afbeelding is dan en slechts dan inverteerbaar als , dat wil zeggen: dan en slechts dan als de rang van gelijk is aan .
Een -matrix voldoet dan en slechts dan aan de voorwaarden als .
Bekijk de matrix
De kolommen van
zijn dan en slechts dan lineair afhankelijk als er een
niet-triviale lineaire combinatie is die de nulvector oplevert, dus dan en slechts dan als er scalairen
en
zijn, niet beide gelijk aan
, zodat
wat overeenkomt met het stelsel
Deze voorwaarde kan herschreven worden als
en zegt dus dat de vector in de kern van ligt. Als dit het geval is, dan geeft vermenigvuldiging van links met de matrix :
Omdat ten minste één van en ongelijk aan nul is, vinden we dat geldt.
Andersom, als , dan geldt
zodat
inverteerbaar is en de kern van
gelijk aan
is, waaruit volgt dat de kolommen lineair onafhankelijk zijn. We concluderen dat de kolommen van
dan en slechts dan lineair afhankelijk zijn als
.
Omdat de linker leden, zeg en , beide gelijk aan nul zijn, mogen we ze vervangen door lineaire combinaties van en . In het bijzonder zien we door de combinaties respectievelijk te nemen:
Omdat
en
niet beide gelijk aan nul mogen zijn, concluderen we dat de kolommen van
dan en slechts dan lineair afhankelijk zijn als
. Deze afhankelijkheidsvoorwaarde op de kolommen van
is invariant onder de verwisseling van
en
, en geldt daarom ook voor de rijen van
, oftewel, voor de kolommen van
. Dit verklaart dat de rang van
dan en slechts dan gelijk is aan
als de rang van
gelijk is aan
. Dit laat nogmaals zien dat zowel uitspraak 2 als uitspraak 3 equivalent is met uitspraak 1.
Uitspraak 5 kunnen we zelfs illustreren aan de hand van de volgende eenvoudig na te rekenen formule:
Dus als , dan is
de inverse van
. Stel nu
, zodat
de nulmatrix is. Als
de nulmatrix is, dan is
niet inverteerbaar. Als
ongelijk is aan de nulmatrix, dan is een kolom van
een vector ongelijk
die tot de kern van
behoort, zodat
niet inverteerbaar is. We concluderen dat
dan en slechts dan inverteerbaar is als
.
De uitdrukking staat bekend als de determinant van , die we later uitgebreider behandelen.
We bespreken de gelijkwaardigheid van enkele uitspraken voor het geval . We noteren de elementen van de -matrix als volgt:
Eerst laten we zien dat de kolommen van onafhankelijk zijn (dat wil zeggen, geen niet-triviale relatie met elkaar hebben) dan en slechts dan als de kern van enkel de nulvector bevat.
De kern van bestaat uit alle vectoren die voldoen aan
Het linker lid kunnen we herschrijven als een lineaire combinatie van de kolommen van
:
Als de kern van
slechts de nulvector bevat, dan heeft deze vergelijking
als enige oplossing. Dat betekent dat de kolommen van
onafhankelijk zijn. Omgekeerd: als de kolommen van
onafhankelijk zijn, dan heeft de laatste vergelijking
als enige oplossing. Uit de herschrijving naar de voorgaande vergelijking volgt dan dat de kern van
enkel de nulvector bevat.
We laten nu zien dat de kern van enkel de nulvector bevat dan en slechts dan als de determinant van ongelijk is aan nul. Dit doen we door aan te tonen dat de kern van vectoren bevat ongelijk aan de nulvector dan en slechts dan als de determinant van gelijk is aan nul.
We introduceren de matrix
die voldoet aan
Zoals we hierboven al zagen, voldoet een vector
in de kern van
aan
Vermenigvuldigen we beide zijden van deze vergelijking van links met
dan vinden we:
Als de kern van
een vector bevat die ongelijk is aan de nulvector, dan moet de determinant van
dus wel nul zijn. Omgekeerd: als de determinant van
gelijk is aan nul, dan is
de nulmatrix, wat aantoont dat de kolommen van
tot de kern van
behoren. Als
de nulmatrix is, dan zit elke vector uit
in de kern van
. Als
niet de nulmatrix is, dan is minstens één van de kolommen van
ongelijk aan de nulvector. In beide gevallen bevat de kern van
vectoren ongelijk aan de nulvector.
Eerder zagen we dat inverteerbaar is dan en slechts dan als de determinant van ongelijk is aan nul, en dat de inverse in dat geval gelijk is aan
waarin de matrix
hierboven is gedefinieerd. Later zullen we zien dat de matrix
de
geadjugeerde van
is. De determinant
verandert niet wanneer we
en
met elkaar verwisselen. Dat laat zien dat de determinanten van
en
gelijk aan elkaar zijn, zoals in het algemeen geldt. Eveneens in overeenstemming met de algemene regel vinden we:
Is de volgende matrix inverteerbaar?
Nee
We breiden de matrix uit met een identiteitsmatrix en passen
Gauss-eliminatie toe:
Er is een nulrij onstaan bij het vegen. Dit betekent dat de matrix niet inverteerbaar is. Het antwoord is dus: Nee.
We hebben alleen geveegd met rijen, maar om te bepalen of de gegeven matrix een inverse heeft, hadden we ook met kolommen kunnen vegen. Bovendien kunnen we de vierkante matrices achter de verticale streep bij het veegproces weglaten.