1. Door verwisseling van de twee argumenten die gelijk zijn aan de vector $\vec{a}$ gaat de determinant in zijn tegengestelde over, maar tegelijkertijd verandert het argument niet zodat de determinant hetzelfde blijft. Dat kan alleen als de determinant $0$ is.

2. Veronderstel gemakshalve dat $$\vec{a}_1=\alpha_2\vec{a}_2+\cdots +\alpha_n\vec{a}_n$$ Dan is $$\begin{array}{rl}D(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots ,\vec{a}_n)& =D(\sum_{k=2}^n\alpha_k\vec{a}_k,\vec{a}_2,\ldots ,\vec{a}_n)\\& =\sum_{k=2}^n\alpha_k D(\vec{a}_k ,\vec{a}_2,\ldots ,\vec{a}_n)\\&=0\end{array}$$ vanwege het eerste onderdeel.

Uniciteit: We zijn nu in staat voor iedere $n$ de determinantfunctie uit te schrijven. Dat gaat op dezelfde manier als bij $(2\times 2)$-matrices: schrijf elke rij uit als lineaire combinatie van de standaardbasisvectoren en gebruik de multilineariteit om de determinant uit te schrijven als een som van vele determinanten van standaardbasisvectoren. Bekijk daartoe de matrix
$$A=\left(\,\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & \ldots & \ldots & a_{nn} \end{array}\,\right)$$ met rijen $\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n$. Dan is voor iedere $i$
$$\vec{a}_i=\sum_{j=1}^n\ a_{ij}\vec{e}_j$$ en dus
$$\begin{array}{ll} D\ (\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n)\ &=\ D\Big(\sum_{j_1=1}^na_{1j_1}\vec{e}_{j_1},\ldots ,\sum_{j_n=1}^n a_{nj_n}\vec{e}_{j_n}\Big)\\ &=\ \sum_{j_1=1}^n\ldots \sum_{j_n=1}^na_{1j_1}\ldots a_{nj_n}D(\vec{e}_{j_1},\ldots ,\vec{e}_{j_n}) \end{array}$$ Dit is een som met heel veel termen. Er zijn $n$ sommatie-indices ieder met $n$ mogelijke waarden dus het aantal termen is $n^n$. Voor een toch vrij lage waarde als $n=8$ staan hier $16\,777\,216$ termen.

Omdat termen waarin twee indices $j_i$ en $j_k$ gelijk zijn, nul opleveren, kunnen we ons beperken tot permutaties $\rv{j_1,\ldots ,j_n}$ van $\{1,2,\ldots,n\}$. We tellen deze permutaties als volgt. Voor het eerste element zijn er $n$ mogelijkheden, dan voor het tweede element nog $n-1$, voor het derde element nog $n-2,\ldots$, voor het voorlaatste nog $2$, waarna het laatste element vastligt. Er zijn dus $n\cdot(n-1)\cdots 2\cdot 1=n!$ permutaties van $\{1,\ldots ,n\}$.

De som voor $D$ telt dus in deze vorm $n!$ termen. Dat is heel wat minder dan $n^n$, maar voor $n=8$ zijn het er altijd nog $8!=40\,320$. Als sommige termen $D(\vec{e}_{j_1},\ldots ,\vec{e}_{j_n})$ in de som over alle permutaties $\rv{j_1,\ldots, j_n}$ gelijk aan $0$ zouden zijn, dan zou de som uit nog minder termen bestaan. Dat is echter niet het geval. Omdat $\rv{j_1,\ldots, j_n}$ uit alle getallen $1,\ldots ,n$ bestaat, kunnen we door herhaald verwisselen de volgorde $1,\ldots ,n$ bereiken. Iedere verwisseling betekent een factor $-1$. Als het aantal verwisselingen even is, dan is $D(\vec{e}_{j_1},\ldots ,\vec{e}_{j_n})$ gelijk aan $1$ en anders gelijk aan $-1$. We vinden dus:

Als $D$ bestaat, dan is
$$D(\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n)=\sum_{j_1,\ldots ,j_n}\pm a_{1j_1}\ldots a_{nj_n}$$ waarbij de som loopt over alle $n!$ permutaties van $\rv{1,\ldots ,n}$ en in de som het plusteken genomen moet worden als de permutatie in een even aantal verwisselingen in de volgorde $\rv{1,\ldots ,n}$ gebracht kan worden en anders het minteken.

det is een determinantfunctie: Om dit te bewijzen, gaan we na dat $\det$ aan de drie eisen voor een determinantfunctie voldoet.

Multilineariteit: Laat $i$ een van de getallen $1,\ldots,n$ zijn. We willen laten zien dat $\det$ lineair is in het $i$-de argument $\vec{a}_i$. Omdat $\det(\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n)$ een som van termen van de vorm $\text{sg}(\sigma) a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}$ is, volstaat het om na te gaan dat elk van deze termen lineair in $\vec{a}_i$ is. Dat is inderdaad het geval, want alleen de factor $a_{i\sigma(i)}$ komt van $\vec{a}_i$.

Antisymmetrie: door verwisseling van twee vectoren in de argumenten gaat de waarde van de determinant in zijn tegengestelde over. Als we de argumenten $i$ en $j$ verwisselen, dan krijgen we dezelfde uitdrukking, met $a_{i\sigma(i)}$ en $a_{j\sigma(j)}$ in elke term vervangen door respectievelijk $a_{j\sigma(i)}$ en $a_{i\sigma(j)}$. Omdat het alleen om een verwisseling gaat, mogen we $i\lt j$ veronderstellen. Als we $\tau$ de samenstelling van $\sigma$ en de verwisseling van $i$ en $j$ laten zijn, dan krijgen we dus

$$\begin{array}{rcl}&&a_{1\sigma(1)}\cdots a_{i-1\sigma(i-1)}a_{j\sigma(i)}a_{i+1\sigma(i+1)}\cdots a_{j-1\sigma(j-1)}a_{i\sigma(j)}a_{j+1\sigma(j+1)}\cdots a_{n\sigma(n)}\\&&\phantom{xx}=a_{1\tau(1)}\cdots a_{i-1\tau(i-1)}a_{j\tau(j)}a_{i+1\tau(i+1)}\cdots a_{j-1\tau(j-1)}a_{i\tau(i)}a_{j+1\tau(j+1)}\cdots a_{n\tau(n)}\\ &&\phantom{xx}= a_{1\tau(1)}\cdots a_{n\tau(n)}\end{array}$$ Voor de duidelijkheid behandelen we deze gelijkheden nogmaals, maar nu met meer woorden:

$$\begin{array}{lcc}&{\left.a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}\right.}&\qquad\left({\text{met }a_{i\sigma(i)} \text{ en }a_{j\sigma(j)}\text{ vervangen door }a_{j\sigma(i)}\text{ en }a_{i\sigma(j)} }\right)\\ &\phantom{1234}={\left.a_{1\tau(1)}\cdots a_{n\tau(n)}\right.}&\qquad\left({\text{met }a_{i\tau(i)}\text{ en }a_{j\tau(j)}\text{verwisseld} }\right)\\ &\phantom{1234}=a_{1\tau(1)}\cdots a_{n\tau(n)}&\qquad\left(\text{in een product van scalairen is volgorde onbelangrijk}\right)\end{array}$$

Uit $\tau\equiv\sigma\,(i,j)$ volgt dat $\sigma$ één transpositie minder heeft dan $\tau$ zodat $\text{sg}(\sigma)=-\text{sg}(\tau)$. De som over alle permutaties $\sigma$ is gelijk aan de som over alle permutaties $\tau$. Met al deze resultaten vinden we:

$$\begin{array}{rcll}\det\overbrace{(\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n)}^{\vec{a}_i\quad\leftrightarrow\quad\vec{a}_j}&=&\sum_{\sigma}\text{sg}(\sigma)\cdot \overbrace{a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}}^{\begin{array}{rcl}a_{i\sigma(i)}&\leftrightarrow&a_{j\sigma(i)}\\a_{j\sigma(j)}&\leftrightarrow&a_{i\sigma(j)}\end{array}}&\color{blue}{\text{definitie }\det}\\&=&\sum_{\sigma}\text{sg}(\sigma)\cdot a_{1\tau(1)}\cdots a_{n\tau(n)}&\color{blue}{\text{resultaat hierboven}}\\&=&\sum_{\sigma}-\text{sg}(\tau)\cdot a_{1\tau(1)}\cdots a_{n\tau(n)}&\color{blue}{\text{sg}(\sigma)=-\text{sg}(\tau)}\\&=&\sum_{\tau}-\text{sg}(\tau)\cdot a_{1\tau(1)}\cdots a_{n\tau(n)}&\color{blue}{\sum_{\sigma}=\sum_{\tau}}\\&=&-\sum_{\tau}\text{sg}(\tau)\cdot a_{1\tau(1)}\cdots a_{n\tau(n)}&\color{blue}{\text{minteken naar voren}}\\&=&-\det(\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n)&\color{blue}{\text{definitie }\det}\end{array}$$

Normering: $D(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\ldots ,\vec{e}_n)=1$.

Een standaardbasisvector $\vec{e}_i$ van $\mathbb{R}^n$ bestaat uit $n-1$ nullen en één $1$ op positie $i$: $$\vec{e}_i=\rv{e_{i1},e_{i2},\ldots,e_{in}}=[0,0,\ldots,0,\underbrace{1}_{\text{positie }i},0,\ldots,0,0]$$ Dit betekent: $$e_{ij}=\left\{\begin{array}{rl}1&\text{voor }i=j\\0&\text{voor }i\neq j\end{array}\right.$$ In onderstaande som over alle permutaties $\sigma$ is $e_{11}\cdots e_{nn}$, die hoort bij $\sigma=\rv{1,2,\ldots,n}$, dus de enige term ongelijk aan nul: $$\begin{array}{rcl}\det(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\ldots ,\vec{e}_n) &=&\sum_{\sigma}\text{sg}(\sigma)\cdot e_{1\sigma(1)}\cdots e_{n\sigma(n)}\\ &=&\text{sg}(\rv{1,2,\ldots,n})\cdot e_{11}\cdots e_{nn}\\&=& 1\cdot 1\cdots 1\\&=& 1\end{array}$$

Laatste uitspraak: Als $E(I) = 0$, dan is elke term in de uitwerking van $E(A)$ gelijk aan nul omdat er een factor $E(I)$ in voorkomt. Dan geldt $E(A) = 0 = E(I)\cdot \det(A)$, als vereist. Stel daarom $E(I)\ne0$. Dan is $\frac{E(A)}{E(I)}$ gedefinieerd; het is een functie die voldoet aan alle drie de eisen voor een determinantfunctie, zodat vanwege de uniciteit geldt $$\frac{E(A)}{E(I)} = \det(A)$$ De uitspraak volgt nu na vermenigvuldiging van beide leden met $E(I)$.