Ontwikkeling naar rij of kolom

Matrixrekening: Determinanten

Ontwikkeling naar rij of kolom

We gaan ons nu concentreren op het daadwerkelijk uitrekenen van determinanten. Er is een scala aan nuttige rekenregels. We zullen ons hier richten op de zogenaamde ontwikkeling van een determinant naar een rij of kolom. Hierna bespreken we de rol van rij- en kolombewerkingen op matrices.

De crux van ontwikkeling naar rij of kolom is dat de berekening van een determinant herleid wordt tot een berekening van kleinere determinanten. Hier is de exacte formulering.

De determinant van een $(n\times n)$ -matrix $A$ kan berekend worden door ontwikkeling naar een rij of kolom. Daaronder verstaan we de volgende gelijkheden, waarbij $A_{ij}$ de $((n-1)\times(n-1))$ -matrix is die uit $A$ verkregen wordt door de $i$ -de rij en de $j$ -de kolom weg te laten.

Ontwikkeling naar de $i$ -de rij:
$\det (A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det (A_{ij})$
Ontwikkeling naar de $j$ -de kolom:
$\det (A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det (A_{ij})$

Bekijk de $(n\times n)$ -matrix $A=\left(\,\begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & & \vdots\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{array}\,\right)$ In alle termen van de somformule voor de determinant zitten factoren uit de eerste kolom. Kijk eerst naar een term die de factor $a_{11}$ heeft. Alle andere factoren in zo'n term komen niet uit de eerste kolom of eerste rij en dus uit de matrix $A_{11}$ . Kijk nu naar een term die de factor $a_{21}$ bevat. De overige factoren in zo'n term liggen niet in de tweede rij of de eerste kolom, zodat ze uit $A_{21}$ komen. Enzovoort. Een nauwgezet onderzoek levert op $\det (A)=a_{11}\det (A_{11})-a_{21}\det (A_{21})+\ldots +(-1)^{n+1}a_{n1}\det (A_{n1})$ Deze formule staat bekend als ontwikkeling naar de eerste kolom. We kunnen net zo naar andere kolommen en ook naar rijen ontwikkelen.

Keuze van rij of kolom

Bovenstaande ontwikkelingen zijn natuurlijk heel handig als een rij of kolom veel nullen heeft: ontwikkeling naar die rij of kolom levert dan een som van weinig determinanten op, die kleiner zijn.

Bekijk $A=\left(\,\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 2\\ 2 & 1 & 3\\ 1 & 3 & -1 \end{array}\,\right)$ Dan is $A_{12}=\left(\,\begin{array}{rr} 2 & 3\\ 1 & -1 \end{array}\,\right)\hbox{ en } A_{33}=\left(\,\begin{array}{rr} -1 & 0\\ 2 & 1 \end{array}\,\right)$ Om de determinant van $A$ te berekenen via ontwikkeling naar de eerste rij, hebben we de volgende twee subdeterminanten nodig:

$\begin{array}{rcl}\det( A_{11})&=&\left|\,\begin{array}{rr} 1 & 3\\ 3 & -1 \end{array}\,\right| =-10\\ \det( A_{13})&=&\left|\,\begin{array}{rr} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{array}\,\right| = 5 \end{array}$ Gebruikmakend van de formule voor ontwikkeling naar de eerste rij vinden we

$\begin{array}{rcl} \det (A)&=&\sum_{j=1}^3 (-1)^{1+j}a_{1j}\det (A_{1j})\\ & =& (-1)^{1+1}a_{11}\det (A_{11}) + (-1)^{1+2}a_{12}\det (A_{12}) + (-1)^{1+3}a_{13}\det (A_{13})\\ & =& -(-10)+ 0\cdot\det (A_{12})+ 2\cdot 5 \\ &=& 20\end{array}$

Bovendriehoeksmatrix

Een vrij extreem voorbeeld vinden we bij het bepalen van de determinant van een zogenaamde driehoeksmatrix: boven (of onder) de diagonaal staan alleen maar nullen. Het antwoord is duidelijk uit Determinanten van enkele speciale matrices; als een term een factor boven de diagonaal heeft, dan is er ook een factor in die term onder de diagonaal en die is $0$ ; zo'n term is dus $0$ . De enige term die overblijft is het product van de diagonaalelementen. Hier leiden we dit resultaat nogmaals af, maar nu met herhaald ontwikkelen naar de eerste kolom:
$\begin{array}{l l} \det (A) & =\left|\,\begin{array}{ccccc} a_{11} & \ast & \ldots & \ldots & \ast\\ 0 & a_{22} & & & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & a_{n-1,n-1} & \ast\\ 0 & \ldots & \ldots & 0 & a_{nn} \end{array}\,\right|\ \\\\ & =\ a_{11}\cdot \left|\,\begin{array}{ccccc} a_{22} & \ast & \ldots & \ldots & \ast\\ 0 & \ddots & & & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & a_{n-1,n-1} & \ast\\ 0 & \ldots & \ldots & 0 & a_{nn} \end{array}\,\right|\\\\ & =\ a_{11}\cdot a_{22}\cdot \left|\,\begin{array}{ccc} a_{33} & \ldots & \ast\\ & \ddots & \vdots\\ 0 & & a_{nn} \end{array}\,\right|\\\\ &=\ a_{11}\cdot a_{22}\cdots\ \left|\,\begin{array}{cc} a_{n-1,n-1} & \ast\\ 0 & a_{nn} \end{array}\,\right|\\\\ & =\ a_{11}\cdot a_{22}\,\cdots\, a_{n-1,n-1}\cdot a_{nn} \end{array}$ Suggestie van Ernst: $\begin{array}{l l} \det (A) &=\left|\,\begin{array}{ccccc} a_{11} & \ast & \ldots & \ldots & \ast\\ 0 & a_{22} & & & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & a_{n-1,n-1} & \ast\\ 0 & \ldots & \ldots & 0 & a_{nn} \end{array}\,\right|\ \\\\ & =\ a_{11}\cdot \left|\,\begin{array}{ccccc} a_{22} & \ast & \ldots & \ldots & \ast\\ 0 & a_{33} & & & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & a_{n-1,n-1} & \ast\\ 0 & \ldots & \ldots & 0 & a_{nn} \end{array}\,\right|\ \\\\ & =\ a_{11}\cdot a_{22}\cdot \left|\,\begin{array}{ccccc} a_{33} & \ast & \ldots & \ldots & \ast\\ 0 & a_{44} & & & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & a_{n-1,n-1} & \ast\\ 0 & \ldots & \ldots & 0 & a_{nn} \end{array}\,\right|\ \\\\&=\ a_{11}\cdot a_{22}\cdots a_{n-2,n-2}\cdot\left|\,\begin{array}{cc} a_{n-1,n-1} & \ast\\ 0 & a_{nn} \end{array}\,\right|\\\\ & =\ a_{11}\cdot a_{22}\,\cdots\, a_{n-2,n-2}\cdot a_{n-1,n-1}\cdot a_{nn} \end{array}$

Laat $A$ de volgende $(3\times3)$ -matrix zijn: $A=\matrix{0 & -4 & 5 \\ 6 & 6 & 5 \\ 2 & -6 & -5 \\ }$
Bereken de determinant van $A$ door ontwikkeling naar een rij of kolom.

$\det (A)=$ $-400$

Het $(1,1)$ -element van $A$ is gelijk aan $0$ . Daarom ontwikkelen we naar de eerste rij.
$\begin{array}{rcl}\det(A) &=& (-1)^{1+1}\cdot a_{1 1}\cdot \det(A_{1 1}) + (-1)^{1+2}\cdot a_{1 2}\cdot \det(A_{1 2}) + (-1)^{1+3}\cdot a_{1 3}\cdot \det(A_{1 3})\\ &=& 0\cdot\left|\begin{array}{cc}6&5\\-6&-5\end{array}\right| +4\cdot\left|\begin{array}{cc}6&5\\2&-5\end{array}\right| +5\cdot\left|\begin{array}{cc}6&6\\2&-6\end{array}\right|\\ &=& 0+4\cdot(-40) + 5\cdot(-48) \\ &=& -400 \end{array}$

Nieuw voorbeeld