Vegen van rij of kolom

Matrixrekening: Determinanten

Vegen van rij of kolom

Laat $A$ een vierkante matrix zijn. Om een situatie te bereiken waarin ontwikkelen naar een rij of kolom rekentechnisch handig is voor de berekening van de determinant van $A$ , gebruiken we rijreductie. Daarmee kunnen we veel nullen in de matrix produceren terwijl de determinant gecontroleerd verandert. Zoals we eerder gezien hebben, kan een elementaire rijoperatie op een matrix $A$ namelijk gezien worden als vermenigvuldiging van $A$ van links met een vierkante matrix, zodat de productformule voor de determinant gebruikt kan worden. Er is dus enige boekhouding vereist tijdens het vegen. Zoals we zullen zien, volgt uit $\det(A) = \det(A^\top)$ dat kolombewerkingen evengoed mogelijk zijn.

Het effect van elementaire rijbewerkingen op een matrix $A$ kan als volgt worden beschreven in termen van matrixvermenigvuldiging.

$R_i\rightarrow \lambda \cdot R_i\;(\lambda \neq 0)$ : Vermenigvuldiging van rij $i$ van $A$ met een getal $\lambda$ staat gelijk aan vermenigvuldiging van links met de diagonaalmatrix $D_{i,\lambda }$ met $(i,i)$ -element gelijk aan $\lambda$ en verder op de diagonaal allemaal enen.
$R_i\rightarrow R_i+\lambda \cdot R_j\;(i\ne j)$ : Optelling van een veelvoud $\lambda$ van één rij $j$ bij een andere rij $i$ staat gelijk aan vermenigvuldiging van links met de matrix $E_{ij,\lambda }$ , waarvan het $(i,j)$ -element gelijk is aan $\lambda$ , de diagonaalelementen gelijk zijn aan $1$ en alle andere elementen gelijk aan $0$ .
$R_i\leftrightarrow R_j\;(i\ne j)$ : Verwisseling van de rijen $i$ en $j$ van $A$ staat gelijk aan vermenigvuldiging van links met de permutatiematrix $P_{(i,j)}$ behorende bij de transpositie $(i,j)$ .

Deze rijbewerkingen staan al beschreven in de stelling Rijbewerkingen in termen van matrixvermenigvuldiging.

$\begin{array}{r|l|c} \text{matrix}&\text{uitgeschreven}&\text{linksvermenigvuldiging}\\ \hline D_{3,\lambda}&\matrix{1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&\lambda}&\phantom{x}\color{blue}{\text{rij }3\text{ met }\lambda\text{ vermenigvuldigen}}\\ E_{31,\lambda} &\matrix{1&0&0\\ 0&1&0\\ \lambda&0&1}&\phantom{x}\color{blue}{\text{scalair veelvoud }\lambda\text{ van rij }1\text{ bij rij }3\text{ optellen}}\\ P_{(1,3)} &\matrix{0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0}&\phantom{x}\color{blue}{\text{rij }1\text{ met rij }3\text{ verwisselen}}\\\end{array}$

Dezelfde bewerkingen op $A$ als met rijen kunnen we ook met kolommen uitvoeren, door $A$ met de matrices $D_{i,\lambda}$ , $E_{ij,\lambda}$ , $P_{(i,j)}$ van rechts te vermenigvuldigen. Dit is in te zien door gebruik te maken van de wet $\left(B\, A\right)^\top = A^\top B^\top$ en op te merken dat $\begin{array}{rcl} D_{i,\lambda}^\top&=& D_{i,\lambda} \\ E_{ij,\lambda}^\top &=&E_{ji,\lambda}\\ P_{(i,j)}^\top &=&P_{(i,j)} \end{array}$

We passen deze interpretatie van rij- en kolomoperaties toe op de berekening van determinanten.

Het effect van elementaire rij- of kolombewerkingen op de determinant van een vierkante matrix $A$ staat aangegeven in onderstaande tabel. Als $B$ de matrix uit de tweede kolom is, dan is de determinant van het resultaat $B\,A$ of $A\,B$ van de bewerking gelijk aan $\det(B)\cdot \det(A)$ .

elementaire rijoperatie	matrix	determinant
$R_i\rightarrow \lambda \cdot R_i\;(\lambda \neq 0)$	$D_{i,\lambda }$	$\lambda$
$R_i\rightarrow R_i+\lambda \cdot R_j\;(i\ne j)$	$E_{ij,\lambda }$	$1$
$R_i\leftrightarrow R_j\;(i\ne j)$	$P_{(i,j)}$	$-1$

Laat $B$ een van de matrices $D_{i,\lambda }$ , $E_{ij,\lambda }$ , $P_{(i,j)}$ zijn. De productformule voor determinanten geeft $\det(B\,A) = \det(B)\cdot \det(A)$ .

De determinant van de diagonaalmatrix $D_{i,\lambda }$ is, volgens de definitie van determinant, het product van de diagonaalelementen, dus $\lambda$ .

De determinant van de driehoeksmatrix $E_{ij,\lambda }$ is, volgens determinanten van enkele speciale matrices, het product van de diagonaalelementen, dus $1$ .

De determinant van de permutatiematrix $P_{(i,j)}$ is, volgens definitie van determinant, het teken van de permutatie $(i,j)$ , dus $-1$ .

De determinant $\det(A)$ kan berekend worden uit $\det(B\,A)$ als het quotiënt $\frac{\det(B\,A)}{\det(B)}$ . Nu is $B\, A$ een matrix met meer nullen dan $A$ , en is $\det(B)$ bepaald door het vegen. Er is dus enige boekhouding vereist tijdens het vegen om $\det(B)$ te bepalen.

Omdat $\det (A)=\det (A^\top)$ kunnen voor de berekening van de determinant van $A$ de elementaire bewerkingen ook met kolommen worden uitgevoerd. Als het ons alleen maar te doen is om de waarde van de determinant, kan het handig zijn dan weer eens met de rijen, dan weer eens met de kolommen te vegen. Als we beide soorten bewerkingen gebruiken, dan verliezen we wel de informatie over de rijen- en kolommenruimte.

We laten zien hoe de determinant van de matrix $A=\matrix{0 & 1 & 2 & -1\\ 2 & 5 & -7 & 3\\ 0 & 3 & 6 & 2\\ -2 & -5 & 4 & -2}$ met vegen van rijen of kolommen en ontwikkeling naar rij of kolom berekend kan worden. $\begin{array}{rcl} \det (A)&=&\left|\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 2 & -1\\ 2 & 5 & -7 & 3\\ 0 & 3 & 6 & 2\\ -2 & -5 & 4 & -2 \end{array}\,\right|\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{determinant van }A}\\ &=&\ \left|\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 2 & -1\\ 2 & 5 & -7 & 3\\ 0 & 3 & 6 & 2\\ 0 & 0 & -3 & 1 \end{array}\,\right| \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{de tweede rij bij de vierde opgeteld: }}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{linksvermenigvuldiging met }E_{42,1}}\\ &=& \ -2\cdot\left|\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1\\ 3 & 6 & 2\\ 0 & -3 &1 \end{array}\,\right|\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{naar de eerste kolom ontwikkeld}}\\ & =&\ -2\cdot\left|\,\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 5\\ 0 & -3 & 1 \end{array}\,\right|\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{drie keer de eerste rij van de tweede afgetrokken: }}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{linksvermenigvuldiging met }E_{21,-3}}\\ &=&\ 10\cdot\left|\,\begin{array}{rr} 1 & 2\\ 0 & -3 \end{array}\,\right|\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{ontwikkeld naar de tweede rij }}\\ &=&\ -30\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{de }(2\times 2)\text{-determinant uitgewerkt}}\end{array}$

We laten zien hoe de determinant van de matrix $A=\matrix{2 & 0 & 0 & 8\\ 1 & -7 & -5 & 0\\ 3 & 8 & 6 & 0\\ 0 & 7 & 5 & 4}$ met vegen en ontwikkeling naar rij of kolom berekend kan worden.

$\begin{array}{rcl} \det (A)&=& \left|\,\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 0 & 8\\ 1 & -7 & -5 & 0\\ 3 & 8 & 6 & 0\\ 0 & 7 & 5 & 4 \end{array}\,\right|\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{de determinant van }A}\\ &=&\ 2\left|\,\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 4\\ 1 & -7 &-5 & 0\\ 3 & 8 & 6 & 0\\ 0 & 7 & 5 & 4 \end{array}\,\right|\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{factor 2 uit de eerste rij gehaald: linksvermenigvuldiging met }D_{1,\frac{1}{2}}}\\ & =&\ 8\left|\,\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & -7 & -5 & 0\\ 3 & 8 & 6 & 0\\ 0 & 7 & 5 & 1 \end{array}\,\right|\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{factor 4 uit de vierde kolom gehaald: rechtsvermenigvuldiging met }D_{4,\frac{1}{4}}}\\ & =&\ 8\left|\,\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & -7 & -5 & 0\\ 3 & 8 & 6 & 0\\ -1 & 7 & 5 & 0 \end{array}\,\right|\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{rij 1 van rij 4 afgetrokken: linksvermenigvuldiging met }E_{41,-1}}\\ & =&-8 \left|\,\begin{array}{rrr} 1 & -7 & -5\\ 3 & 8 & 6\\ -1 & 7 & 5 \end{array}\,\right|\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{ontwikkeld naar de laatste kolom}}\\ &=& 0\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{eerste en derde rij zijn afhankelijk}}\\ \end{array}$

Laat $A$ en $C$ de volgende $(3\times4)$ -matrices zijn: $A=\matrix{7 & -1 & 0 & -1 \\ 5 & -5 & 0 & -5 \\ 7 & -5 & -2 & -2 \\ }\qquad\text{en}\qquad C = \matrix{7 & -1 & 0 & -1 \\ 7 & -5 & -2 & -2 \\ 5 & -5 & 0 & -5 \\ }$ Door welk soort elementaire bewerking is $C$ uit $A$ verkregen?

Verwisseling van twee rijen

In formulevorm is de bewerking $R_3\leftrightarrow R_2$ . Dit komt overeen met linksvermenigvuldiging van $A$ met de matrix $P_{(3,2)} =\matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ }$

Nieuw voorbeeld