Laat $n$ een natuurlijk getal zijn. Eerst bewijzen we de uitspraak: Elke $(n\times n)$-matrix $A$ voldoet aan $p_A(A) = 0_n$.

We maken gebruik van de matrixvergelijking in de regel van Cramer. We brengen in herinnering dat het $(i,j)$-element van de geadjugeerde matrix $\text{adj}(A)$ gelijk is aan $(-1)^{i+j}\cdot \det(A_{ji})$. Genoemde vergelijking luidt $$\det(A)\cdot I_n = A\, \text{adj}(A)$$ Vervangen we $A$ door $A-x\cdot I_n$, dan vinden we $$\det(A-x\cdot I_n)\cdot I_n = (A-x\cdot I_n)\, \text{adj}(A-x\cdot I_n)$$

We voeren het bewijs door het invullen van een $(n\times n)$-matrix in een veelterm ook toe te passen op een algemenere uitdrukking, namelijk een veelterm waarvan de coëfficiënten ook $(n\times n)$-matrices zijn. De verzameling van dergelijke veeltermen geven we met $Q$ aan. Een element $q(x)$ van $Q$ heeft de vorm

$$q(x) =x^k\,C_k+x^{k-1}\,C_{k-1} +\cdots + x\,C_1 + C_0$$ waarbij $C_k,C_{k-1},\ldots,C_0$ tot $M_{n\times n}$ behoren. De factor $r(x) = A-x\cdot I_n$ in bovenstaande gelijkheid is een voorbeeld van een element uit $Q$. Het linker lid van de gelijkheid is ook een voorbeeld, waarbij alle coëfficiënten van machten van $x$ veelvouden van de identieke matrix $I_n$ zijn. De factor $p(x) = \text{adj}(A-x\cdot I_n)$ in het rechter lid is tenslotte ook een veelterm in $Q$ van graad $n-1$ in $x$ (de determinanten in de geadjugeerde matrix worden immers genomen van matrices met $n-1$ rijen en $n-1$ kolommen).

Voor $n=1$ zijn de matrices niet anders dan gewone getallen en geldt $Q=P$.

We geven weer met $q(A)$ de matrix aan die verkregen wordt uit $q(x)$ door $x$ door $A$ te vervangen. Het is eenvoudig in te zien dat $Q$ weer een vectorruimte is en dat de afbeelding die aan $q(x)$ de matrix $q(A)$ toevoegt, een lineaire afbeelding $Q\to M_{n\times n}$ is.

We kunnen elementen van $Q$ ook met elkaar vermenigvuldigen met de gebruikelijke regels, waarbij $C\,x$ herschreven wordt tot $x\, C$ voor elke matrix $C$ in $M_{n\times n}$. Als $n\gt 1$, dan is matrixvermenigvuldiging niet langer commutatief, zodat invullen van $A$ voor $x$ niet langer vermenigvuldiging respecteert. Dit wil zeggen dat $(p\cdot q)(A) \ne p(A)\, q(A)$ voorkomt. Bijvoorbeeld, als $A$ en $B$ niet-commuterende, inverteerbare matrices zijn, en $p(x) = x$ en $q(x) =B$, dan geldt

$$(p\cdot q)(A) = B\,A\ne A\,B = p(A)\, q(A)$$

Als $A$ echter met $p(x)$ en $q(x)$ commuteert en dus met elke coëfficiënt van $p(x)$ en van $q(x)$, dan geldt wel

$$(p\cdot q)(A) = p(A)\, q(A)$$

omdat dan het uitschrijven van het product in het rechter lid op precies dezelfde wijze gebeurt als voor een veelterm in $x$ (steeds als $C\,x$ herschreven wordt tot $x\, C$ voor een coëfficiënt van $p(x)$ of $q(x)$, geldt dezelfde commutatie na substitutie: $C\,A = A\,C$).

Deze uitspraak passen we toe op de gelijkheid $\det(A-x I_n)\cdot I_n = (A-x I_n)\, \text{adj}(A-x I_n)$ die we hierboven afgeleid hebben. Omdat $A-x I_n$ commuteert met $\text{adj}(A-x I_n)$, en omdat $x\, I_n$ met elke matrix commuteert, volgt dat $A=(A-xI_n)+xI_n$ commuteert met $\text{adj}(A-x I_n)$ en dus met elke coëfficiënt van $\text{adj}(A-x I_n)$.

Vullen we $A$ in voor $x$, dan wordt het rechter lid gelijk aan de nulmatrix omdat $A$ invullen in $A-x I_n$ de nulmatrix oplevert. We hebben geconstateerd dat invullen van $A$ de vermenigvuldiging respecteert, dus invullen van $A$ in het gehele rechter lid geeft de nulmatrix. We concluderen dat ook invullen van $A$ in het linker lid de nulmatrix oplevert. Dat wil zeggen: invullen van $A$ in $\det(A-x I_n)\cdot I_n$ geeft de nulmatrix. Omdat het invullen van $A$ voor $x$ in $p_A(x)\cdot I_n=\det(A-x I_n)\cdot I_n$ gelijk is aan $p_A(A)\cdot I_n$, betekent dit $p_A(A)=0_n$, waarmee de uitspraak over $A$ bewezen is.

De stelling is een direct gevolg omdat, voor elke basis $\alpha$ van $V$ geldt $$\left(p_L(L) \right)_{\alpha}=\left(p_A(L)\right)_{\alpha}=p_A( A) = 0_n$$ waarbij $A=L_\alpha$.