Deling met rest van veeltermen

Matrixrekening: Minimumveelterm

Deling met rest van veeltermen

We hebben deling met rest voor veeltermen nodig om het begrip minimumveelterm voor matrices en lineaire afbeeldingen te kunnen behandelen.

Deling met rest voor veeltermen is iets ingewikkelder dan optellen, aftrekken en vermenigvuldigen, vooral omdat niet elke deling een veelterm levert. Dit proces is vergelijkbaar met deling met rest voor gehele getallen. In het laatste geval is de absolute waarde een vergelijkingsmaat. Voor veeltermen, is de graad is een geschikte maat.

We brengen in herinnering dat de graad van een veelterm in $x$ de hoogste exponent van $x$ is die zich in de uitgeschreven vorm (als som van producten van een coëfficiënt met een macht van $x$ tot een niet-negatieve exponent) ervan voordoet. We noteren de graad van de veelterm $f(x)$ als $\text{deg}(f(x))$ .

Indien $f(x)= 0$ , de nulveelterm, dan is het praktisch om de graad van $f(x)$ gelijk aan $-1$ te stellen. Als $f$ een veelterm ongelijk $0$ is van graad $n$ , dan heet de coëfficiënt van $x^n$ in de uitgeschreven vorm van $f(x)$ de leidende coëfficiënt van $f(x)$ . Een veelterm heet monisch wanneer de leidende coëfficiënt gelijk is aan $1$ .

Een veelterm van graad $1$ heet lineair. Een veelterm van graad $2$ wordt kwadratisch genoemd.

Voorbeelden

De uitgeschreven vorm van $(x+3)^4-x^2-1$ is $x^4+12x^3+53x^2+108x+80$ . De graad van deze monische veelterm is $4$ .
De graad van $(x+3)^4-x^4-1$ is $3$ want de uitgeschreven vorm ervan is $12x^3+54x^2+108x+80$ . Haar leidende coëfficiënt is $12$ , dus deze veelterm is niet monisch.

Deling met rest begint met de definitie van delers:

Een veelterm $g(x)$ wordt een deler van een veelterm $f(x)$ genoemd als er een veelterm $q(x)$ is, zodat $f(x) = q(x)\cdot g(x)$ . Dan zeggen we: $g(x)$ deelt $f(x)$ . Als $g(x)\ne0$ , dan is de veelterm $q(x)$ uniek. Het heet het quotiënt van $f(x)$ en $g(x)$ .

Als de graad van $g(x)$ kleiner is dan de graad van $f(x)$ , dan heet $g(x)$ een echte deler.

We laten zien dat het quotiënt uniek is. Stel dat $g(x)\ne0$ , en dat $q_1(x)$ en $q_2(x)$ veeltermen zijn die voldoen aan $q_1(x)g(x) = q_2(x)g(x)$ . Dan geldt $\left(q_1(x) - q_2(x)\right)\cdot g(x) = 0$ , dus $q_1(x) - q_2(x) = 0$ , waaruit blijkt dat $q_1(x) = q_2(x)$ .

Omdat $1$ een veelterm is die voldoet aan $f(x)=1\cdot f(x)$ , is de veelterm $f(x)$ een deler van $f(x)$ .

Ook elk constant veelvoud van $f(x)$ ongelijk aan $0$ is een deler van $f(x)$ : als $a$ een reëel getal is dat niet gelijk is aan $0$ , dan is $q(x) = \frac{1}{a}$ een veelterm die voldoet aan $f(x)=q(x)\cdot\left(a\cdot f(x)\right)$ , zodat $a\cdot f(x)$ een deler is van $f(x)$ .

Dit zijn echter geen echte delers.

De veelterm $x^2-1$ is een deler van $x^6-1$ omdat $x^6-1=(x^2-1)\cdot (x^4+x^2+1)$ .

QuotiëntHet quotiënt is een speciaal geval van het quotiënt bij deling met rest die hieronder besproken wordt.

Om delers te vinden, gebruiken we het equivalent van de staartdeling voor de gehele getallen.

Laat $f(x)$ een veelterm van graad $m\ge1$ zijn en $g(x)$ een veelterm van graad $n\ge0$ . We kunnen als volgt testen of $g(x)$ een deler is van $f(x)$ . Geef met $b$ de leidende coëfficiënt van $g(x)$ aan.

Er bestaan unieke veeltermen $q(x)$ en $r(x)$ zodanig dat $f(x) = q(x)\cdot g(x) + r(x)$ en de graad van $r(x)$ kleiner is dan $n$ .

De veelterm $q(x)$ kan worden gevonden door te beginnen met $q(x) =0$ en $r(x) = f(x)$ en vervolgens

zolang de graad $k$ van $r(x)$ tenminste $n$ is, de veelterm $\dfrac{a}{b}x^{k-n}\cdot g(x)$ af te trekken van $r(x)$ , waarbij $a$ de leidende coëfficiënt van $r(x)$ is, en $\dfrac{a}{b}x^{k-n}$ bij $q(x)$ op te tellen.

Zodra de graad van $r(x)$ kleiner is dan $n$ , zijn de veeltermen $q(x)$ en $r(x)$ gevonden.

De veelterm $g(x)$ is dan en slechts dan een deler van $f(x)$ als $r(x) = 0$ .

De procedure voor het vinden van het quotiënt $q(x)$ en de rest $r(x)$ is zo ontworpen dat aan het einde van elke stap waarbij $q(x)$ en $r(x)$ veranderen, er $f(x) = q(x) \cdot g(x) + r(x)$ geldt. Bij elke stap gaat de graad van $r(x)$ naar beneden. Aangezien de graad van $r(x)$ aan het begin gelijk is aan de graad van $f(x)$ en bij elke stap ten minste $1$ minder wordt, zal de procedure nooit meer dan $m$ stappen duren.

Stel dat $q_1(x)$ en $r_1(x)$ twee veeltermen met $f(x) = q_1(x)\cdot g(x) + r_1(x)$ zijn, zodanig dat de graad van $r_1(x)$ kleiner is dan $g(x)$ . Dan hebben we $q(x)\cdot g(x)+r(x) = f(x) = q_1(x)\cdot g(x) + r_1(x)$ waaruit blijkt dat $(q(x)-q_1(x))\cdot g(x) = r_1(x) - r(x)$ . Het rechter deel is een veelterm van graad kleiner dan de graad van $g(x)$ , zodat het linker deel een veelterm van graad kleiner dan de graad van $g(x)$ is. Omdat het een veelvoud van $g(x)$ is, moet het $0$ zijn. Er geldt dus $q(x)-q_1(x)= 0$ . Dit betekent dat $q_1(x) = q(x)$ . Hieruit volgt dat $0= (q(x)-q_1(x))\cdot g(x) = r_1(x) - r(x)$ , zodat $r_1(x) = r(x)$ . Het blijkt dat het quotiënt $q(x)$ en de rest $r(x)$ inderdaad uniek zijn.

Als $r(x) = 0$ , dan geldt $f(x) = q(x)\cdot g(x)$ , dus $g(x)$ deelt $f(x)$ .

Andersom, als $g(x)$ een deler is van $f(x)$ , dan is er een veelterm $s(x)$ met $f(x) = s(x)\cdot g(x) + 0$ . Omdat de graad van $0$ kleiner is dan de graad van $g(x)$ , forceert de uniciteit dat $s(x) =q(x)$ en $r(x) = 0$ .

Voorbeeld

Het quotiënt $q(x)$ en de rest $r(x)$ van deling van $f(x) = x^4+2x^3+3x^2+2x+1\quad{}\text{ door }\quad{} g(x) = x^2-1$ kunnen worden gevonden door staartdelen: $\begin{array}{lclcr} \color{blue}{x^2-1}&/&x^4+2x^3+3x^2+2x+1&\backslash&\color{green}{x^2}+\color{green}{2x}+\color{green}{4}\\ &&\underline{x^4\phantom{+00x^3}-\phantom{0}x^2\phantom{+0x+00}}&\leftarrow&\color{green}{x^2}\cdot\color{blue}{(x^2-1)}\\ &&\phantom{0x^4+}2x^3+4x^2+2x+1&&\\ &&\underline{\phantom{0x^4+}2x^3\phantom{+00x^2}-2x\phantom{+00}}&\leftarrow&\color{green}{2x}\cdot\color{blue}{(x^2-1)}\\&&\phantom{x^4+00x^3+}4x^2+4x+1&&\\ &&\underline{\phantom{x^4+00x^3+}4x^2\phantom{+00x}-4}&\leftarrow&\color{green}{4}\cdot\color{blue}{(x^2-1)}\\ &&\phantom{x^4+00x^3+4x^2+}\color{red}{4x+5}&&\end{array}$

Dus $f(x) = g(x)\cdot (x^2+2x+4)+4x+5$ . We concluderen dat $q(x) = x^2+2x+4$ en $r(x) = 4x+5$ .

Speciaal geval Indien de graad $n$ van $g(x)$ groter is dan de graad $m$ van $f(x)$ , dan worden het quotiënt $q(x)$ en de rest $r(x)$ van deling met rest van $f(x)$ door $g(x)$ gegeven door $q(x)=0$ en $r(x)=f(x)$ . Immers, al direct in de eerste stap $\rv{q(x),r(x)}=\rv{0,f(x)}$ van het beschreven algoritme is de graad van $r(x)$ kleiner dan die van $g(x)$ .

Quotiëntfunctie

Laten we deling met rest voor veeltermen vergelijken met deling met rest voor gehele getallen.

Voor elk paar gehele getallen $n$ en $m\neq0$ bestaan er unieke gehele getallen $q$ en $r$ zodat $n=q\cdot m+r$ en $|r|\lt|m|$ . Het quotiënt $n/m$ is in het algemeen een rationaal getal dat dan en slechts dan als $r=0$ opnieuw gelijk is aan een geheel getal, namelijk $q$ . Dit kan alleen gebeuren indien $n=0$ (in welk geval ook $q=0$ voor alle $m\neq0$ ) of $|n|\ge|m|$ . In het laatste geval geldt $q\neq0$ en vertelt de absolute waarde van $q$ hoeveel keer groter $|n|$ is ten opzichte van $|m|$ , immers $|n|=|q|\cdot|m|$ voor $r=0$ .

Voor elk paar veeltermen $f(x)$ en $g(x)\neq0$ bestaan er unieke veeltermen $q(x)$ en $r(x)$ zodat $f(x)=q(x)\cdot g(x)+r(x)$ en $\text{deg}\left(r(x)\right)\lt\text{deg}\left(g(x)\right)$ . De quotiëntfunctie $(f/g)(x)=f(x)/g(x)$ is in het algemeen een rationale functie die dan en slechts dan als $r(x)=0$ opnieuw gelijk is aan een veelterm, namelijk $q(x)$ , behalve op de nulpunten van $g(x)$ waar $(f/g)(x)$ niet is gedefinieerd maar $q(x)$ wel (omdat een veelterm overal is gedefinieerd). De rest kan alleen gelijk worden aan nul indien $\text{deg}\left(f(x)\right)=-1$ (oftewel $f(x)=0$ , in welk geval ook $q(x)=0$ voor alle $g(x)\neq0$ ) of $\text{deg}\left(f(x)\right)\ge\text{deg}\left(g(x)\right)$ . In het laatste geval geldt $q(x)\neq0$ en vertelt de graad van $q(x)$ wat het verschil is tussen de graad van $f(x)$ en die van $g(x)$ , immers dan geldt $\text{deg}\left(q(x)\right)=\text{deg}\left(f(x)\right)-\text{deg}\left(g(x)\right)$

Bijvoorbeeld: voor $f(x)=x^2-3x+2$ en $g(x)=x+1$ geldt $q(x)=x-4$ en $r(x)=6$ . Omdat de rest ongelijk is aan nul, is de quotiëntfunctie $(f/g)(x)$ geen veelterm. Maar voor $f(x)=x^2-3x+2$ en $g(x)=x-1$ geldt $q(x)=x-2$ en $r(x)=0$ , zodat $(f/g)(x)$ overal gelijk is aan de veelterm $q(x)$ , behalve op het punt $x=1$ waar $q(x)$ gelijk is aan $-1$ maar $(f/g)(x)$ niet is gedefinieerd omdat $g(1)=0$ .

Bepaal het quotiënt $q(x)$ en de rest $r(x)$ bij deling met rest van $f(x) = 3 x^3+x^2+8 x-1$ door $g(x) = x^2+x+3$ .

Voer daartoe paren $\rv{q(x),r(x)}$ in die voldoen aan $f(x) = q(x)\cdot g(x) + r(x)$ en waarvan de graad van $r(x)$ steeds kleiner wordt.

$\rv{q(x),r(x)} =$ $\rv{3 x-2,x+5}$

Immers, het recept van de theorie volgend, beginnen we met $q(x) =0$ en $r(x) = f(x) = 3 x^3+x^2+8 x-1$ De graad van $r(x)$ is groter dan $2$ , de graad van $g(x)=x^2+x+3$ . Daarom trekken we $3 x\cdot g(x)$ af van $r(x)$ en tellen we $3 x$ op bij $q(x)$ . Dit geeft $\rv{q(x),r(x)} = \rv{3 x,-2 x^2-x-1}$ Omdat de graad van $r(x)$ nog niet kleiner dan $2$ is, herhalen we dit proces: we trekken $-2\cdot g(x)$ af van $r(x)$ en tellen $-2$ op bij $q(x)$ . Dit geeft $\rv{q(x),r(x)} = \rv{3 x-2,x+5}$ Nu is de graad van $r(x)$ wel kleiner dan $2$ . De conclusie is dat we de gevraagde $q(x)$ en $r(x)$ gevonden hebben.

Omdat $r(x)\ne0$ , is $g(x)$ geen deler van $f(x)$ .

Nieuw voorbeeld