Loodrechte stand

Inproductruimten: Inproduct, lengte en hoek

Loodrechte stand

De hoek van twee vectoren met dezelfde richting is $0$ . Als ze tegenovergestelde richting hebben dan is hun hoek $\pi$ , wat gelijk staat aan $180^\circ$ . De hoek $\frac{\pi}{2}$ (ofwel $90^\circ$ ), die daar precies tussen in ligt, heeft ook een bijzondere betekenis.

Laat $V$ een inproductruimte zijn. Twee vectoren $\vec{a}$ en $\vec{b}$ van $V$ staan loodrecht op elkaar als $\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}} = 0$ . In dit geval noteren we $\vec{a}\ \perp\ \vec{b}$ .

In deze definitie mogen $\vec{a}$ en/of $\vec{b}$ de nulvector zijn.

Omdat $\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}} =\dotprod{\vec{b}}{\vec{a}}$ staat $\vec{a}$ dan en slechts dan loodrecht op $\vec{b}$ als $\vec{b}$ loodrecht staat op $\vec{a}$ . Met andere woorden: de loodrechtheidsrelatie is symmetrisch.

In $\mathbb{R}^n$ met het standaardinproduct staan voor iedere $i$ en $j$ met $i\neq j$ de vectoren $\vec{e}_i$ en $\vec{e}_j$ loodrecht op elkaar. Bovendien heeft elk van deze vectoren lengte $1$ . Deze eigenschap heet orthonormaliteit en speelt later nog een belangrijke rol voor inproductruimten.

Hoek Als $\vec{a}$ en $\vec{b}$ niet de nulvector zijn dan volgt uit $\vec{a}\perp\vec{b}$ dat de hoek $\varphi$ tussen de twee vectoren voldoet aan $\cos(\varphi) = 0$ , dus dan is de hoek $\varphi=\frac{\pi}{2}$ (ofwel $90^\circ$ ). Dit komt overeen met het geval van het platte vlak dat we bespraken.

Met behulp van de definitie van loodrecht kunnen we de stelling van Pythagoras in een formele setting plaatsen.

Laat $V$ een inproductruimte zijn.

De vectoren $\vec{a}$ en $\vec{b}$ staan dan en slechts dan loodrecht op elkaar als
$\norm{\vec{a}+\vec{b}}^2 = \norm{\vec{a}}^2 + \norm{\vec{b}}^2$
Als de vectoren $\vec{a}_1, \ldots ,\vec{a}_k$ onderling loodrecht staan, dat wil zeggen: $\dotprod{\vec{a}_i}{\vec{a}_j }=0$ als $i\neq j$ , dan geldt
$\norm{\vec{a}_1+\cdots + \vec{a}_k}^2 =\norm{\vec{a}_1}^2 + \cdots + \norm{\vec{a}_k }^2$

Om het eerste onderdeel te bewijzen, gebruiken we de eigenschappen van het inproduct om $\norm{\vec{a}+\vec{b}}^2$ uit te werken:

$\begin{array}{rcl} \norm{\vec{a}+\vec{b}}^2 & =&\dotprod{(\vec{a}+\vec{b})}{( \vec{a} + \vec{b})}\\&=&\dotprod{\vec{a} }{\vec{a}} + \dotprod{\vec{a}}{ \vec{b}}+ \dotprod{\vec{b}}{\vec{a}}+\dotprod{\vec{b}}{\vec{b}}\\ & =&\norm{\vec{a}}^2 + \norm{\vec{b}}^2 +2(\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}) \end{array}$ Omdat $\vec{a}$ en $\vec{b}$ per aanname loodrecht zijn, geldt $\dotprod{\vec{a} }{\vec{b}}=0$ . Als we dit invullen in bovenstaande uitdrukking vinden we $\norm{\vec{a}+\vec{b}}^2 =\norm{\vec{a}}^2 +\norm{\vec{b}}^2$ .

Voor de andere implicatie nemen we aan dat $\norm{\vec{a}+\vec{b}}^2 =\norm{\vec{a}}^2 + \norm{\vec{b}}^2$ . Hieruit volgt direct dat $2(\dotprod{\vec{a} }{\vec{b}})=0$ , zodat $\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}=0$ en dus $\vec{a}\perp\vec{b}$ . Hiermee is de eerste uitspraak bewezen.

De tweede uitspraak volgt bijvoorbeeld met volledige inductie uit de eerste. Het volledige bewijs laten we aan de lezer over.

Als we nu kijken naar de vectorruimte $V=\mathbb{R}^2$ met het standaardinproduct, krijgen we de stelling van Pythagoras zoals wij die kennen. Als de vectoren $\vec{a}$ en $\vec{b}$ loodrecht op elkaar staan, geldt volgens de stelling dat $\norm{\vec{a}+\vec{b}}^2=\norm{\vec{a}}^2+\norm{\vec{b}}^2$ . De vector $\vec{a}+\vec{b}$ is natuurlijk de vector $\vec{c}$ zoals we kennen in de stelling van Pythagoras.

Tegenvoorbeeld

We kunnen inzien dat de tweede uitspraak geen 'dan en slechts dan als' relatie is door te kijken naar het volgende tegenvoorbeeld. Neem de vectoren $\vec{a}_1=\rv{1,0}, \vec{a}_2=\rv{0,1}$ en $\vec{a}_3=\rv{1,-1}$ . Er geldt nu

$\norm{\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3}^2 = \norm{\rv{2,0}}^2=4$ en er geldt

$\norm{\vec{a}_1}^2 + \norm{\vec{a}_2}^2 + \norm{\vec{a}_3}^2= 1+1+2 = 4$ dus de gelijkheid uit de uitspraak geldt. Maar het inproduct $\dotprod{\vec{a}_1}{\vec{a}_3}$ is gelijk aan $1$ dus de vectoren $\vec{a}_1$ en $\vec{a}_3$ staan niet loodrecht!

Geef een vector van de inproductruimte $\mathbb{R}^3$ (met het standaardinproduct) die ongelijk is aan de nulvector is en loodrecht staat op de vector

$\rv{8,-9,-6}$

$\rv{0,1,-{{3}\over{2}}}$

Het antwoord is niet uniek.

Een vector $\rv{x,y,z}$ staat dan en slechts dan loodrecht op $\rv{8,-9,-6}$ als $\dotprod{\rv{8,-9,-6}}{\rv{x,y,z}}=0$ . Dit betekent dat voldoen moet zijn aan

$x\cdot 8+y\cdot (-9) + z\cdot (-6)=0$ Dit is één lineaire vergelijking met drie onbekenden, dus we kunnen gewoon waarden voor $x$ en $y$ kiezen (niet beide gelijk aan $0$ om de nulvector als antwoord te vermijden) om de zo ontstane lineaire vergelijking in $z$ op te lossen.

We nemen $x=0$ en $y=1$ . Dit geeft de vergelijking $-9+z\cdot(-6)=0$ , die als oplossing heeft $z=-{{3}\over{2}}$ . Als antwoord vinden we dan de vector

$\rv{0,1,-{{3}\over{2}}}$

De oplossing is niet uniek; iedere oplossing $\rv{x,y,z}$ van $8 x-9 y-6 z=0$ ongelijk aan de nulvector is een goed antwoord.

Nieuw voorbeeld