Het orthogonale complement

Inproductruimten: Orthogonale projecties

Het orthogonale complement

Een belangrijk concept binnen de theorie over orthogonaliteit is het orthogonale complement. We zullen bespreken wat het is en hoe we het orthogonale complement van een lineaire deelruimte binnen een vectorruimte kunnen construeren.

Laat $V$ een inproductruimte zijn en laat $W$ een lineaire deelruimte van $V$ zijn. Het orthogonale complement van $W$ is de verzameling
$W^\perp =\left\{\vec{x}\in V\mid \dotprod{\vec{x}}{\vec{w}}=0\ \text{ voor alle }\ \vec{w}\in W\right\}$

Het orthogonale complement van $W$ is dus de verzameling van alle vectoren in $V$ die loodrecht staan op $W$ .

De definitie van $W^\perp$ werkt ook goed en wordt ook wel gebruikt als $W$ een deelverzameling van $V$ is.

OrthoplementIn de literatuur wordt orthogonaal complement ook wel afgekort tot orthoplement.

$\{\vec{0}\}^\perp = V\ \text{ en }\ V^\perp =\{\vec{0}\}$

De tweede gelijkheid kan van nut zijn als we willen bewijzen dat twee vectoren, zeg $\vec{x}$ en $\vec{y}$ , van $V$ gelijk zijn. Als we bijvoorbeeld weten dat $\dotprod{\vec{x}}{\vec{z}} = \dotprod{\vec{y}}{\vec{z}}$ voor elke vector $\vec{z}$ van $V$ , dan volgt dankzij bilineariteit na het naar links halen van alle termen:

$\dotprod{(\vec{x}-\vec{y})}{\vec{z}} =0\phantom{xx}\text{voor alle }z\text{ in } V$

Dit betekent dat $\vec{x}-\vec{y}$ behoort tot $V^\perp = \{\vec{0}\}$ , zodat $\vec{x}-\vec{y} = \vec{0}$ . Dit laat zien dat $\vec{x}= \vec{y}$ .

Het orthogonale complement van $W$ wordt vaak genoteerd door $W^\perp$ .

Hierbij hangt het teken $\perp$ af van de definitie van het inproduct van $V$ . Als er van meerdere inproducten sprake is, dan schrijven we ook wel $W^{\perp_f}$ voor het orthogonale complement van $W$ ten opzichte van het inproduct $f$ .

De $2$ -dimensionale lineaire deelruimte $W$ van $\mathbb{R}^3$ gegeven door de vergelijking $2x-3y+5z =0$

is het orthogonale complement van $\linspan{\rv{2,-3,5}}$ . De normaalvector $\rv{2,-3,5}$ van dit vlak is een opspannende vector van het orthogonale complement van $W$ .

Hier zijn enkele belangrijke eigenschappen van het orthogonale complement.

Laat $W$ een lineaire deelruimte van de vectorruimte $V$ zijn.

$W^\perp$ is een lineaire deelruimte van $V$ .
$W\cap W^\perp =\{\vec{0}\}$ , dat wil zeggen:
een lineaire deelruimte $W$ en zijn orthogonale complement $W^\perp$ hebben alleen de nulvector gemeen.
Als $W=\linspan{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n}$ , dan is
$W^\perp=\left\{\vec{x}\in V\mid \dotprod{\vec{a}_i}{\vec{x}}=0\ \text{ voor }\ i=1,\ldots ,n\right\}$

1. Ten eerste behoort $\vec{0}$ tot $W^\perp$ .

Laat $\vec{x}$ en $\vec{y}$ twee vectoren uit het orthogonale complement van $W$ zijn, $\lambda$ en $\mu$ twee scalairen en $\vec{w}$ een vector uit $W$ . Het inproduct van $\lambda \vec{x} + \mu \vec{y}$ en $\vec{w}$ voldoet aan

$\begin{array}{rcl}\dotprod{(\lambda \vec{x} + \mu \vec{y})}{\vec{w}} &=&\lambda\cdot(\dotprod{\vec{x}}{\vec{w}})+\mu\cdot(\dotprod{\vec{y}}{\vec{w}})\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{lineariteit inproduct}}\\ &=&\lambda\cdot 0 + \mu\cdot 0\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\vec{x}\text{ en }\vec{y} \text{ behoren tot }W^\perp}\\ &=&0\end{array}$

We concluderen dat $W^{\perp}$ voldoet aan de definitie van een lineaire deelruimte van $V$ .

2. Stel dat $\vec{w}$ een vector is die zowel in $W$ als in $W^{\perp}$ zit. Het inproduct $\dotprod{\vec{w}}{\vec{w}}$ is dan gelijk aan $0$ . Dit impliceert direct dat $\vec{w}$ de nulvector is. De tweede eigenschap is hiermee bewezen.

3. We bewijzen eerst dat $W^\perp$ bevat is in $\left\{\vec{x}\in V\mid \dotprod{\vec{a}_i}{\vec{x}}=0\ \text{ voor }i=1,\ldots,n\right\}$ . Laat $\vec{x}$ een vector zijn uit het orthogonale complement van $W$ . Dan staat $\vec{x}$ loodrecht op iedere vector uit $W$ , en in het bijzonder loodrecht op iedere vector $\vec{a}_i$ met $i=1,\ldots, n$ . Dit laat zien dat $\vec{x}$ een element is van $\left\{\vec{x}\in V\mid \dotprod{\vec{a}_i}{\vec{x}}=0\ \text{ voor }\ i=1,\ldots ,n\right\}$ .

Vervolgens bewijzen we de andere inclusie. Laat $\vec{x}$ een vector zijn die loodrecht staat op iedere vector $\vec{a}_i$ afzonderlijk. Een willekeurige vector $\vec{w}$ in $W$ heeft de vorm $\sum_{i=1}^n\lambda_i \vec{a}_i$ voor scalairen $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ . We laten zien dat $\vec{x}$ loodrecht staat op $\vec{w}$ :

$\begin{array}{rcl}\dotprod{\vec{x}}{\vec{w}}&=&\dotprod{\vec{x}}{(\sum_{i=1}^n\lambda_i \vec{a}_i)}\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{uitdrukking voor }\vec{w}\text{ ingevuld}}\\ &=&\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot (\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_i})\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{lineariteit inproduct}}\\ &=&\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot 0\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\vec{x}\text{ staat loodrecht op elke }\vec{a}_i}\\ &=&0\end{array}$ We concluderen dat ook aan de derde eigenschap voldaan is.

Om het orthogonale complement van een opspansel $\linspan{ \vec{a}_1, \ldots ,\vec{a}_n }$ uit te rekenen, hoeven we dus alleen maar de vectoren op te sporen die loodrecht staan op elk van de $n$ vectoren $\vec{a}_1, \ldots ,\vec{a}_n$ .

De vectoren in $\mathbb{R}^3$ die loodrecht staan op $\rv{1,2,-1}$ vormen het orthogonale complement van de rechte $\ell=\langle \rv{1,2,-\,1}\rangle$ . Zo'n vector $\vec{v}=\rv{x,y,z}$ moet voldoen aan $\dotprod{\rv{1,2,-\,1}}{\vec{v}}=0$ , dus aan $x+2y-z=0$ . Met andere woorden: $\ell^\perp=\left\{\rv{x,y,z}\mid x+2y-z=0\right\}$ Dit is een vlak door de oorsprong in $\mathbb{R}^3$ .

Vervolgens bepalen we het orthogonale complement van het vlak $\ell^\perp$ . Eerst bepalen we een parametrisatie van dit vlak . Kiezen we $y$ en $z$ als parameters, dan betekent het feit dat $\rv{x,y,z}$ tot $\ell^\perp$ behoort dat $x=z-2y$ , zodat $\rv{x,y,z} = z\cdot\rv{1,0,1}+y\cdot\rv{-2,1,0}$ Dit heeft tot gevolg dat
$\ell^\perp= \linspan{\rv{1,0,1},\rv{-2,1,0}}$ Vanwege eigenschap 3 bestaat $\left(\ell^\perp\right)^\perp$ dus uit alle vectoren $\rv{x,y,z}$ die voldoen aan
$\begin{array}{rcrrr} \dotprod{\rv{1,0,1}}{\rv{x,y,z}}& = & x & & +z=0\\ \dotprod{\rv{-2,1,0}}{\rv{x,y,z}} & = & -\,2 x & +y & =0 \end{array}$ In termen van $x$ als parameter hebben de oplossingen van dit stelsel lineaire vergelijkingen de vorm $x\cdot \rv{1,2,-1}$ , dus
$\left(\ell^\perp\right)^\perp=\linspan{ \rv{1,2,-1}} =\ell$ We zullen hieronder zien dat voor elke lineaire deelruimte $W$ van een eindigdimensionale inproductruimte $V$ geldt $\left(W^\perp\right)^\perp=W$ . In het algemeen is het orthogonale complement van een vlak door de oorsprong in $\mathbb{R}^3$ een lijn door de oorsprong, en is het vlak het orthogonale complement van die lijn.

In het commentaar bij de stelling Loodrechte projectie hebben we gezien dat als $W$ een oneindigdimensionale deelruimte is van een inproductruimte, de loodrechte projectie van een vector $\vec{x}$ op $W$ niet altijd bestaat. We kunnen met eigenschap 2 hierboven echter wel vaststellen dat er hooguit één loodrecht projectie bestaat: Pas de stelling Doorsnee van affiene deelruimten toe op $(\vec{x}+W)\cap W^\perp$ . Volgens deze stelling is de doorsnee leeg (in welk geval er geen loodrechte projectie is) dan wel van de vorm $\vec{c}+W\cap W^\perp$ . Maar volgens eigenschap 2 van het orthogonale complement is de doorsnee $W\cap W^\perp$ de nulruimte, zodat in het tweede geval de doorsnede $(\vec{x}+W)\cap W^\perp$ samenvalt met $\{\vec{c}\}$ . In dit tweede geval is $\vec{y} = \vec{x}-\vec{c}$ de unieke loodrechte projectie van $\vec{x}$ op $W$ .

Als $V$ een eindigdimensionale vectorruimte is, dan kunnen we met behulp van de loodrechte projectie en de Gram-Schmidt procedure het orthogonale complement van een deelruimte $W$ bepalen.

Laat $W$ een $m$ -dimensionale deelruimte zijn van een $n$ -dimensionale vectorruimte $V$ . Stel dat $\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_m}$ een basis is van $W$ en dat deze basis met $\basis{\vec{a}_{m+1},\ldots,\vec{a}_n}$ uitgebreid is tot een basis voor de hele ruimte $V$ .

Dan geeft de Gram-Schmidt procedure toegepast op de basis $\basis{\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_n}$ van $V$ een orthonormale basis $\basis{\vec{e}_1,\ldots ,\vec{e}_n}$ voor $V$ zodanig dat $W=\linspan{\vec{e}_1,\ldots ,\vec{e}_m}$ en $W^\perp=\linspan{\vec{e}_{m+1},\ldots ,\vec{e}_n}$ .

In het bijzonder geldt $\dim{V}=\dim{W}+\dim{W^{\perp}}$

Uitgaande van de basis $\basis{\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_n}$ construeren we met behulp van de Gram-Schmidt procedure een orthonormale basis $\basis{\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n}$ voor $V$ . Deze basis voldoet aan $\linspan{\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_m}=\linspan{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_m}=W$

We tonen nu aan dat het orthogonale complement $W^{\perp}$ gegeven wordt door $\linspan{\vec{e}_{m+1},\ldots,\vec{e}_n}$ . Laat $\vec{x}$ een vector van $V$ zijn. Omdat $\basis{\vec{e}_1,\ldots ,\vec{e}_n}$ een orthonormale basis is, staat elke $\vec{e}_i$ voor $i=m+1,\ldots,n$ loodrecht op elke $\vec{e}_j$ voor $j=1,\ldots,m$ . Volgens eigenschap 3 van het orthogonale complement heeft dit tot gevolg dat $\vec{e}_i$ voor $i=m+1,\ldots,n$ behoort tot $W^\perp$ . Eigenschap 1 van het orthogonale complement zegt dat $W^\perp$ een lineaire deelruimte is, zodat $\linspan{\vec{e}_{m+1},\ldots,\vec{e}_n}$ bevat is in $W^\perp$ .

Om de andere inclusie te bewijzen, veronderstellen we dat $\vec{x}$ een vector in $W^\perp$ is. Dankzij eigenschap 2 van orthonormale stelsels vinden we $\begin{array}{rcl}\vec{x}&=&\sum_{i=1}^n (\dotprod{\vec{x}}{\vec{e}_i})\vec{e}_i\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{eigenschap van orthonormale stelsels}}\\ &=&\sum_{i=1}^m(\dotprod{\vec{x}}{\vec{e}_i})\vec{e}_i + \sum_{i=m+1}^n(\dotprod{\vec{x}}{\vec{e}_i})\vec{e}_i\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{splitsing van de som}}\\&=&\sum_{i=m+1}^n(\dotprod{\vec{x}}{\vec{e}_i})\vec{e}_i\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\dotprod{\vec{x}}{\vec{e}_i}=0\text{ voor }i=1,\ldots,m\text{ want }\vec{x}\text { in }W^\perp}\\\end{array}$

We zien dus dat $\vec{x}=\sum_{i=m+1}^n(\dotprod{\vec{x}}{\vec{e}_i})\vec{e}_i$ ligt in het lineaire opspansel $\linspan{\vec{e}_{m+1},\ldots,\vec{e}_n}$ . Dit bewijst de andere inclusie. We concluderen dat $W^\perp=\linspan{\vec{e}_{m+1},\ldots,\vec{e}_n}$ .

De dimensieformule voor het orthoplement volgt ten slotte uit

$\dim{W} + \dim{W^\perp}= m+(n-m) = n = \dim{V}$

Als $W$ een lineaire deelruimte van een eindigdimensionale inproductruimte is, dan is $\left(W^\perp\right)^\perp = W$ Dit volgt onmiddellijk uit toepassing van de stelling op $W^\perp$ in plaats van $W$ , want de basis $\basis{\vec{e}_{1},\ldots,\vec{e}_m}$ van $W$ is een aanvulling van de orthonormale basis $\basis{\vec{e}_{m+1},\ldots,\vec{e}_n}$ van $W^\perp$ tot een orthonormale basis van $V$ .

Laat $W$ de $2$ -dimensionale lineaire deelruimte van $\mathbb{R}^3$ zijn gegeven door $W=\left\{\rv{x,y,z}\mid x+2y-z=0\right\}$ Dan heeft $W$ veel complementen, dat wil zeggen: $1$ -dimensionale deelruimten van $\mathbb{R}^3$ die tezamen met $W$ de hele ruimte opspannen. Het orthogonale complement $W^\perp=\linspan{\rv{1,2,-1}}$ is uniek en bepaalt $W$ weer uniek door $W = \left(W^\perp\right)^\perp$ . Dit verklaart de unieke rol van $\rv{1,2,-1}$ als normaalvector (uniek op een scalair ongelijk aan $0$ na).

De dimensieformule voor het orthogonale complement is ook te bewijzen uit dimensiestelling voor lineaire deelruimten met gebruikmaking van het feit dat de doorsnede van $W$ en $W^\perp$ triviaal is (dat wil zeggen: eigenschap 2 van het orthogonaal complement):

$\dim{V} = \dim{W} + \dim{W^\perp}-\dim{W\cap W^\perp}= \dim{W} + \dim{W^\perp}$

De stelling laat zien dat $V$ de directe som is van $W$ en $W^\perp$ voor elke echte niet-triviale lineaire deelruimte $W$ van $V$ .

Als $W$ een vlak door de oorspong is in $\mathbb{R}^3$ , dan is de dimensie van het orthogonale complement gelijk aan $1$ . Als $\basis{\vec{u},\vec{v}}$ een basis is van $W$ , dan wordt $W^\perp$ opgespannen door het uitproduct van $\vec{u}$ en $\vec{w}$ .

Bepaal een orthonormale basis voor het orthogonale complement $W^{\perp}$ in $\mathbb{R}^3$ van de lineaire deelruimte $W$ gegeven door
$-5 x-4 y-7 z=0$
Geef je antwoord in de vorm van een lijst van basisvectoren, dat wil zeggen $\left\{\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n\right\}$ .

$\left\{{{1}\over{3\cdot \sqrt{10}}}\cdot\rv{ -5 , -4 , -7 }\right\}$

De deelruimte $W$ bestaat uit alle vectoren $\rv{x,y,z}$ van $\mathbb{R}^3$ met de eigenschap $-5 x-4 y-7 z=0$ ; dat wil zeggen $\dotprod{\rv{-5,-4,-7}}{\rv{x,y,z}} = 0$ . Dit betekent dat $W = { \linspan{\rv{-5,-4,-7}}}^{\perp}$ . Bijgevolg is
$W ^\perp= \left(\linspan{\rv{-5,-4,-7}}^{\perp}\right)^\perp =\linspan{\rv{-5,-4,-7}}$ Een basis wordt dus gegeven door de vector $\rv{-5,-4,-7}$ . Het rest ons nog deze basisvector te normaliseren om zo tot een orthonormale basis te komen.
$\frac{1}{\parallel \rv{-5,-4,-7}\parallel} \cdot \rv{-5,-4,-7} ={{1}\over{3\cdot \sqrt{10}}}\cdot\rv{ -5 , -4 , -7 }$ Zo vinden we het antwoord $\left\{{{1}\over{3\cdot \sqrt{10}}}\cdot\rv{ -5 , -4 , -7 }\right\}$ .

De oplossing is niet uniek: zowel $\left\{{{1}\over{3\cdot \sqrt{10}}}\cdot\rv{ -5 , -4 , -7 }\right\}$ als $\left\{-{{1}\over{3\cdot \sqrt{10}}}\cdot\rv{ -5 , -4 , -7 }\right\}$ zijn goede antwoorden.

Nieuw voorbeeld