Het begrip orthonormaal stelsel

Inproductruimten: Orthonormale stelsels

Het begrip orthonormaal stelsel

Van bijzonder groot belang voor inproductruimten zijn stelsels vectoren die loodrecht op elkaar staan.

Orthogonale en orthonormale stelsels

Laat $\vec{v}_1,\ldots ,\vec{v}_n$ een stelsel vectoren van een inproductruimte $V$ zijn.

Het stelsel heet orthogonaal als voor $1\leq i, j\leq n$ met $i\neq j$ geldt
$\dotprod{\vec{v}_i}{\vec{v}_j}=0$
Het stelsel heet orthonormaal als voor $1\leq i, j\leq n$ geldt $\dotprod{\vec{v}_i}{\vec{v}_j}=\left\{\,\begin{array}{l} 0\ \text{als}\ i\neq j\\ 1\ \text{als}\ i=j\ \end{array}\right.$

Als het stelsel $\vec{v}_1,\ldots ,\vec{v}_n$ bovendien een basis van $V$ is, spreken we van een orthonormale basis van $V$ .

Het stelsel
$\frac{1}{\sqrt{2}}\rv{1,-1,0}, \, \frac{1}{\sqrt{2}}\rv{1,1,0},\,\rv{0,0,1}$ in $\mathbb{R}^3$ is een orthonormaal stelsel ten opzichte van het standaardinproduct. Het is niet moeilijk na te gaan dat dit stelsel onafhankelijk is. De drie vectoren vormen dus een orthonormale basis van $\mathbb{R}^3$ .

Een voorbeeld is de standaardbasis $\vec{e}_1,\ldots ,\vec{e}_n$ voor $\mathbb{R}^n$ . Met behulp van zulke bases zijn projecties, coördinaten en afstanden makkelijk te berekenen.

Een orthonormaal stelsel is een orthogonaal stelsel waarin alle vectoren lengte $1$ hebben.

Een functie die twee gehele getallen $i$ en $j$ als argumenten heeft en dit paar stuurt naar $0$ als $i\neq j$ en naar $1$ als $i=j$ , heet een Kronecker delta functie. Deze wordt genoteerd als $\delta_{ij}$ . Het inproduct van vectoren uit een orthonormaal stelsel $\basis{\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_n}$ kan hiermee geschreven worden als

$\dotprod{\vec{v}_i}{\vec{v}_j}=\delta_{ij}$

Stel dat de vectoren $\vec{v}=\rv{-2,2,1}$ en $\vec{w}=\rv{-1,2,-6}$ gegeven zijn in de inproductruimte $\mathbb{R}^3$ met standaardinproduct.

Welk(e) van de volgende vectoren vorm(en) een orthogonaal stelsel met $\vec{v}$ en $\vec{w}$ ?

$\rv{0,0,0}$
$\rv{1,{{13}\over{14}},{{1}\over{7}}}$

De vectoren $\vec{v}$ en $\vec{w}$ hebben inproduct $0$ . Het is dus mogelijk dat ze een orthogonaal stelsel met een derde vector vormen. We zullen nu voor iedere vector kort toelichten waarom deze wel of niet een orthogonaal stelsel vormt met $\vec{v}$ en $\vec{w}$ .

De nulvector $\rv{0,0,0}$ staat loodrecht op iedere vector, en vormt dus zeker een orthogonaal stelsel met $\vec{v}$ en $\vec{w}$ .

De vector $\rv{-3,1,-8}$ vormt geen orthogonaal stelsel met $\vec{v}$ en $\vec{w}$ . Het inproduct met $\vec{v}$ is wel gelijk aan $0$ , maar het inproduct met $\vec{w}$ is gelijk aan $53$ .

De vector $\rv{2,0,-{{1}\over{3}}}$ vormt geen orthogonaal stelsel met $\vec{v}$ en $\vec{w}$ . Het inproduct met $\vec{w}$ is wel gelijk aan $0$ , maar het inproduct met $\vec{v}$ is gelijk aan $-{{13}\over{3}}$ .

De vector $\rv{1,{{13}\over{14}},{{1}\over{7}}}$ vormt een orthogonaal stelsel met $\vec{v}$ en $\vec{w}$ omdat de inproducten met beide vectoren $0$ zijn.

Nieuw voorbeeld