Som en veelvoud van lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen: Lineaire afbeeldingen

Som en veelvoud van lineaire afbeeldingen

Evenals bij reële functies kunnen we voor afbeeldingen naar een vectorruimte de som en het product met een constante factor definiëren.

Laat $L :V\rightarrow W$ en $M : V\rightarrow W$ twee lineaire afbeeldingen zijn. Dan is de somafbeelding $L + M :V\rightarrow W$ bepaald door
$( L + M )\vec{x}= L \vec{x}+ M \vec{x}$
Is $\alpha$ een scalar, dan is het scalaire veelvoud $\alpha \cdot L:V\rightarrow W$ bepaald door
$(\alpha\cdot L )\vec{x} = \alpha \cdot ( L \vec{x})$

De lineaire combinatie $2\cdot L_3-3\cdot L_4$ , waarbij $L_a:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ voor een reëel getal $a$ vermenigvuldiging met $a$ voorstelt, is de afbeelding $L_{-6}$ , want

$\begin{array}{rcl}\left(2\cdot L_3-3\cdot L_4\right)(x) &=&\left(2\cdot L_3\right)+\left(-3\cdot L_4\right)(x) \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie optelling}}\\&=& 2\cdot (L_3x)-3\cdot (L_4x)\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie scalair veelvoud}}\\&=& 2\cdot (3x)-3\cdot (4x)\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie }L_a}\\&=& -6x\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\&=&L_{-6}(x)\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie }L_a}\end{array}$

Deze afbeeldingen zijn weer lineair:

Lineariteit van som en veelvoud van lineaire afbeeldingen

Laat $L$ en $M$ beide lineaire afbeeldingen zijn met hetzelfde domein en codomein, en laat $\alpha$ een scalar zijn.

De somafbeelding $L+M$ en het scalaire veelvoud $\alpha\cdot L$ zijn lineair.

$\begin{array}{rcll} (L+M)(\vec{x}+\vec{y})&=&L(\vec{x}+\vec{y})+M(\vec{x}+\vec{y})&\color{blue}{\text{definitie somafbeelding}}\\ &=&L\vec{x}+L\vec{y}+M\vec{x}+M\vec{y}&\color{blue}{\text{lineariteit }L\text{ en }M}\\ &=&(L+M)\vec{x}+(L+M)\vec{y}&\color{blue}{\text{definitie somafbeelding}}\\ (L+M)(\alpha\vec{x})&=&L (\alpha\vec{x})+M(\alpha\vec{x})&\color{blue}{\text{definitie somafbeelding}}\\ &=& \alpha L\vec{x}+\alpha M\vec{x}&\color{blue}{\text{lineariteit }L\text{ en }M}\\ &=& \alpha\left(L\vec{x}+M\vec{x}\right)&\color{blue}{\alpha\text{ buiten haakjes gehaald}}\\ &=& \alpha\left(L+M\right)\vec{x}&\color{blue}{\text{definitie somafbeelding}} \end{array}$ De lineariteit van $\alpha\cdot L$ volgt op soortgelijke wijze.

Beschouw de volgende lineaire differentiaalvergelijking voor $y$ als functie van $x$ :
$y''-x\cdot y'+2y=\sin(x)$ Het linker lid is op te vatten als een lineaire afbeelding toegepast op de vector $y$ . Immers, laat $D$ weer differentiëren zijn en definieer
$L _{f(x)}(y)=f(x)\cdot y$ Ga zelf na dat de afbeelding $L _{f(x)}$ lineair is voor iedere $f(x)$ . Het linker lid van de differentiaalvergelijking is nu
$y''-x\cdot y'+2y =(D^2+ L _{-x}D+ L_2) (y)$ De afbeelding $D^2+ L_{-x}D+ L _2$ is lineair, want

$D$ en $L _{f(x)}$ zijn lineair
$D^2$ en $L _{-x}D$ zijn lineair vanwege de stelling Lineariteit van een samenstelling van lineaire afbeeldingen
een lineaire combinatie van lineaire afbeeldingen is lineair vanwege bovenstaande stelling Lineariteit van som en veelvoud van lineaire afbeeldingen

We hebben hier niet gezegd van welke vectorruimte naar welke vectorruimte we de lineaire afbeeldingen beschouwen. Dat hangt weer een beetje af van de situatie waarin we de differentiaalvergelijking bekijken. Vaak kunnen we de afbeeldingen beschouwen van de vectorruimte $V$ van oneindig vaak differentieerbare functies naar zichzelf.

De verzameling $F$ van alle lineaire afbeeldingen van een vectorruimte $V$ naar een vectorruimte $W$ is nu voorzien van een optelling en een scalaire vermenigvuldiging. Met deze bewerkingen is $F$ zelf een vectorruimte.

Net als bij samenstellingen van lineaire afbeeldingen bepaald door matrices, zijn de bewerkingen terug te voeren tot matrixbewerkingen:

Laat $A$ en $B$ twee matrices van dezelfde afmetingen zijn en laat $L_ A$ en $L_ B$ de corresponderende lineaire afbeeldingen zijn.

De somafbeelding $L_A +L_ B$ is de lineaire afbeelding bepaald door de matrix $A+B$ .
Voor elke scalar $\alpha$ is het scalaire veelvoud $\alpha\cdot L_A$ de lineaire afbeelding bepaald door de matrix $\alpha\cdot A$ .

Stel dat $A$ en $B$ beide $(m\times n)$ -matrices zijn. Voor elke vector $\vec{x}\in\mathbb{R}^n$ is het beeld $L_ A\vec{x}$ dan gelijk aan het matrixproduct $A\vec{x}\in\mathbb{R}^m$ en het beeld $L_ B\vec{x}$ aan $B\vec{x}\in\mathbb{R}^m$ . Voor de somafbeelding $L_ A +L_B :\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$ geldt dus
$\begin{array}{rcl} (L_A +L_B )\vec{x} &=& L_A \vec{x}+ L_B \vec{x} \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van somafbeelding}}\\&=& A\vec{x}+B\vec{x}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }L_A\text{ en } L_B}\\ &=& (A+B)\vec{x} \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{eigenschap van sommatrix }}\\ &=&L_{A+B}\vec{x}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }L_{A+B}}\end{array}$
We concluderen dat de lineaire afbeelding $L_A+L_B$ samenvalt met de lineaire afbeelding bepaald door de matrix $A+B$ .

Als $\alpha$ een scalar is, dan geldt ook

$\begin{array}{rcl} (\alpha\cdot L_A)\vec{x} &=& \alpha\cdot (L_A \vec{x}) \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van scalair veelvoud van een afbeelding}}\\&=& \alpha\cdot A\vec{x}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }L_A}\\ &=& (\alpha\cdot A)\vec{x}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{eigenschap van scalair veelvoud van een matrix}}\\ &=&L_{\alpha\cdot A}\vec{x}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }L_{\alpha\cdot A}}\end{array}$
We concluderen dat de lineaire afbeelding $\alpha\cdot L_A$ samenvalt met de lineaire afbeelding bepaald door de matrix $\alpha\cdot A$ .

In formules:

$\begin{array}{rcl}L_A+L_B &=& L_{A+B}\\ \alpha\cdot L_A &=&L_{\alpha\cdot A}\end{array}$

We concluderen dat lineaire combinaties van lineaire afbeeldingen weer lineaire afbeeldingen zijn. Hieronder staan enkele voorbeelden.

Bekijk de lineaire afbeeldingen $F$ en $G$ van $\mathbb{R}^2$ naar $\mathbb{R}^2$ gegeven door
$\begin{array}{rcl}F(\rv{x,y}) &=& \rv{2 {\it x}-5 {\it y},3 {\it x}+4 {\it y}}\\ G(\rv{x,y}) &=& \rv{5 {\it x}-8 {\it y}, -{\it x}-3 {\it y}}\end{array}$
Bepaal een vector $\rv{ax+by,cx+dy}$ met reële getallen $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , die het functievoorschrift beschrijft van de afbeelding
$-5\cdot F -5\cdot G$

$(-5\cdot F -5\cdot G)(\rv{x,y})=$ $\rv{65 {\it y}-35 {\it x}, -10 {\it x}-5 {\it y}}$

Dit antwoord is als volgt te vinden:
$\begin{array}{rcl} (-5\cdot F-5\cdot G)(\rv{x,y}) &=&-5\cdot F(\rv{x,y})-5\cdot G(\rv{x,y})\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{definitie optelling en scalaire vermenigvuldiging}}\\ &=&-5\cdot \rv{2 {\it x}-5 {\it y},3 {\it x}+4 {\it y}}-5\cdot \rv{5 {\it x}-8 {\it y},-{\it x}-3 {\it y}}\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{functievoorschriften voor }F\text{ en } G\text{ ingevuld}}\\ &=& \rv{65 {\it y}-35 {\it x},-10 {\it x}-5 {\it y}}\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{uitdrukking vereenvoudigd}}\\ \end{array}$

Nieuw voorbeeld