Centraal bij de bestudering van verbanden tussen vectorruimten staat het begrip lineaire afbeelding; deze afbeeldingen respecteren de lineaire structuur in de zin dat lineaire combinaties van vectoren in lineaire combinaties van de beeldvectoren worden overgevoerd, dat lineaire deelruimten in lineaire deelruimten overgaan etc. Het zijn de meest voor de hand liggende afbeeldingen om in de context van vectorruimten te bestuderen en gelukkig vallen voldoende
veel relevante afbeeldingen in deze categorie (onder andere spiegelingen, rotaties, projecties) om een aparte studie van hen te rechtvaardigen. Dit betekent niet dat andere typen afbeeldingen niet eveneens relevant zijn, maar andere typen afbeeldingen zijn in ieder geval moeilijker te analyseren. Kwadratische afbeeldingen bijvoorbeeld zijn zeer relevant, en komen alleen in de gedaante van kwadratische vormen (Hoofdstuk ref{orthensym}) en die van inproducten (Hoofdstuk ref{hfdinproduct}) aan de orde. Het blijkt in het algemeen nuttig te zijn om bij een gegeven structuur (zoals de structuur
vectorruimte) speciale aandacht te besteden aan de afbeeldingen die deze structuur ``respecteren''. Dit thema
wordt bijvoorbeeld systematisch verder uitgewerkt bij de algebravakken.

Om lineaire afbeeldingen te begrijpen, zijn de begrippen eigenwaarde en eigenvector uitermate nuttig gebleken. Het begrip eigenwaarde is afkomstig uit de context van stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen, een onderwerp dat ter sprake komt in het laatste hoofdstuk.

In de quantummechanica spelen lineaire afbeeldingen een hoofdrol, omdat fysische grootheden als snelheid en impuls door lineaire afbeeldingen in vectorruimten van functies beschreven worden. Eigenwaarden en eigenvectoren hebben daarbij een bijzondere fysische betekenis.

Een andere belangrijke rol van lineaire afbeeldingen mag niet onvermeld blijven. Lineaire afbeeldingen treden op als Analyse in eerste-orde benaderingen van differentieerbare functies van meerdere variabelen. Is #f: \mathbb{R}^n
\rightarrow \mathbb{R}^n# zo'n functie en #p\in\mathbb{R}^n#, dan is de matrix van deze eerste orde benadering (zie Tensor-rekening en Differentiaal-meetkunde te #p# ten opzichte van de standaardbasis gelijk aan de #(n\times n)#- matrix met op de plek #i,j# het element #\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}#. Dit komt ook van pas bij het bestuderen van gekromde ruimten.

Lineaire afbeeldingen worden zo goed begrepen omdat ze (in het eindigdimensionale geval) in termen van een enkele matrix weergegeven kunnen worden en vanwege de theorie van eigenwaarden en eigenvectoren. In feite kunnen
van lineaire afbeeldingen ``standaardgedaanten'' worden gegeven,\marginpar{\small\it Lineaire\\Algebra C} maar dat
voert verder dan hier mogelijk is (zie \cite{halmos} en het vak Lineaire Algebra C).