Samenstelling van lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen: Lineaire afbeeldingen

Samenstelling van lineaire afbeeldingen

Hier laten we zien dat samenstellingen van lineaire afbeeldingen zelf weer lineaire afbeeldingen zijn. We leggen eerst vast wat we precies met een samengestelde afbeelding bedoelen en wanneer zo'n constructie zin heeft.

Samenstelling van afbeeldingen

Laat $U$ , $V$ en $W$ vectorruimten zijn en veronderstel dat $L: V\rightarrow W$ en $M: U\rightarrow V$ afbeeldingen zijn.
De samengestelde afbeelding $L\, M : U\rightarrow W$ wordt gedefinieerd door
$L\,M (\vec{u})= L ( M (\vec{u}))\hbox{ voor alle }\vec{u}\in U$

Als $W=V$ , dan schrijven we $L^2=L\,L$ en, voor elk natuurlijk getal $n>1$ , ook $L^n = L\, L^{n-1}$ .

Neem een vector $\vec{u}\in U$ . Passen we eerst $M$ toe, dan komen we op de vector $M (\vec{u})$ van $V$ terecht. Hierop kunnen we vervolgens $L$ toepassen; we komen dan op de vector $L(M(\vec{u}))$ van $W$ terecht. Schematisch: $\begin{array}{lccccc} \text{ruimte:}&U&\rightarrow& V&\rightarrow& W \\ \text{afbeelding:}&&M&&L&\\ \text{vector:}&\vec{u}&\mapsto&M(\vec{u})&\mapsto&L(M(\vec{u}))\end{array}$

De notatie $L\, M$ suggereert dat we de samengestelde afbeelding als een ''product'' kunnen zien van de lineaire afbeeldingen $L$ en $M$ . Dat is maar ten dele juist. Het bestaan van $L\, M$ impliceert niet dat $M\, L$ ook bestaat; immers, $M\, L$ bestaat niet wanneer $U\neq W$ . Voor $U=W$ bestaan $L \,M: W\rightarrow W$ en $M\, L: V\rightarrow V$ wel allebei, maar zijn in het algemeen ongelijk aan elkaar, zelfs voor $V=W$ .

Als de samenstelling van $L$ en $M$ en de samenstelling van $M$ en $L$ beide bestaan, dan hoeft $L\, M = M \,L$ niet waar te zijn. Laat $V$ de vectorruimte van oneindig vaak differentieerbare functies zijn en definieer $L :V\rightarrow V$ en $M :V\rightarrow V$ door
$\begin{array}{rcl} L \ f(x)&=&x\cdot f(x)\\ &\text{en}& \\ M \ f(x)&=&f'(x) \end{array}$ Ga zelf na dat dit lineaire afbeeldingen zijn. Dan is
$\begin{array}{rcl} L\, M f(x)&=&x \cdot f'(x) \\ &\text{en}& \\ M\, L f(x)&=&f(x)+x\cdot f'(x)\\ \end{array}$ dus $L\, M \neq M \, L$ (vul bijvoorbeeld de functie $f(x)=1$ in).

Samenstelling is, zoals we gezien hebben, niet commutatief. Maar ze is wel associatief: voor elk drietal afbeeldingen $L :V\rightarrow W$ , $M :U\rightarrow V$ en $N :X\rightarrow U$ geldt $\left(L\, M\right)\, N = L\,\left(M\, N\right)$

Dit volgt uit het feit dat beide leden, toegepast op $x\in X$ , gelijk zijn aan $L(M(N(x)))$ .

Als gevolg van deze identiteit schrijven we meestal gewoon $L\,M\,N$ voor de samenstelling.

Tot zover de definitie van de samenstelling van twee afbeeldingen. In het geval van lineaire afbeeldingen blijft de lineariteit behouden bij samenstellingen:

Als $L :V\rightarrow W$ en $M : U\rightarrow V$ lineaire afbeeldingen zijn, dan is de samengestelde afbeelding $L\, M$ ook lineair.

Om dit te bewijzen gaan we na dat de samengestelde afbeelding $L\, M$ de optelling van de vectoren $\vec{u}_1$ en $\vec{u}_2$ en vermenigvuldiging met scalar $\alpha$ van een vector $\vec{u}$ respecteert:
$\begin{array}{rcl} L\, M (\vec{u}_1+\vec{u}_2) & =& L(M (\vec{u}_1+\vec{u}_2))\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van samenstelling}}\\ & =& L(M (\vec{u}_1)+ M (\vec{u}_2))\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit van }M}\\ & =& L(M (\vec{u}_1))+ L (M (\vec{u}_2))\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit van }L}\\ & = &L \, M (\vec{u}_1)+L\, M (\vec{u}_2)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{tweemaal definitie van samenstelling}}\\ \\ L\, M (\alpha\cdot\vec{u}) & =& L(M (\alpha\cdot\vec{u}))\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van samenstelling}}\\ &=& L (\alpha\cdot M( \vec{u}))\\ && \phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit van }M}\\ &=& \alpha\cdot L ( M (\vec{u}))\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit van }L}\\ &=& \alpha\cdot L\, M (\vec{u})\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van samenstelling}} \end{array}$

Vermenigvuldiging $L_a$ met een vast getal $a$ is een lineaire afbeelding. Als $a$ en $b$ getallen zijn, dan is de samenstelling $L_a\,L_b$ gelijk aan $L_{a\cdot b}$ . Immers, voor elk getal $c$ geldt

$\begin{array}{rcl} L_aL_b(c) &=& L_a(L_b(c)) \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van samenstelling}}\\ &=& L_a(b\cdot c)\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }L_b}\\ & = &a\cdot (b\cdot c) \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }L_a}\\ &=& (a\cdot b)\cdot c\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{associativiteit vermenigvuldiging}}\\ &=& L_{a\cdot b}(c)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }L_{a\cdot b}} \end{array}$

In dit geval is de samenstelling commutatief: $L_a\,L_b=L_b\,L_a$ . Dit is echter de uitzondering en niet de regel.

In het belangrijke voorbeeld van lineaire afbeeldingen bepaald door matrices komt de samenstelling neer op de lineaire afbeelding bepaald door het matrixproduct:

Laat $m$ , $p$ , $q$ natuurlijke getallen zijn, $A$ een $(q\times m)$ -matrix en $B$ een $(m\times p)$ -matrix.

Dan is de samengestelde afbeelding $L_AL_B$ van $L_B:\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^m$ en $L_A:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^q$ gelijk aan de lineaire afbeelding $L_{AB}:\mathbb{R}^p \rightarrow\mathbb{R}^q$ bepaald door het matrixproduct $AB$ .

Voor elke vector $\vec{x}\in\mathbb{R}^p$ is het beeld $L_B\vec{x}$ gelijk aan het matrixproduct $B\vec{x}\in\mathbb{R}^m$ , en voor elke vector $\vec{y}\in\mathbb{R}^m$ is het beeld $L_A\vec{y}$ gelijk aan het matrixproduct $A\vec{y}\in\mathbb{R}^q$ . Voor de samengestelde afbeelding $L_ A L_B :\mathbb{R}^p \rightarrow\mathbb{R}^q$ geldt dus
$\begin{array}{rcl} (L_A L_B )\vec{x} &=& L_A ( L_B \vec{x} )\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van samenstelling}}\\&=& L_A (B\vec{x})\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }L_B}\\ &=& A(B\vec{x}) \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }L_A}\\ &=&(AB)\vec{x}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van het matrixproduct}}\\&=&L_{AB}(\vec{x})\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }L_{AB}}\end{array}$ We concluderen dat de lineaire afbeelding $L_AL_B$ samenvalt met de lineaire afbeelding bepaald door de matrix $AB$ .

Het voorbeeld $L_a$ van vermenigvuldiging met een getal $a$ op $\mathbb{R}^n$ is een speciaal geval hiervan, want $L_a$ is de lineaire afbeelding bepaald door de matrix $a\cdot I_n$ .

Bereken de samenstelling $F\, G$ van de lineaire afbeeldingen $F$ en $G$ van $\mathbb{R}^2$ naar $\mathbb{R}^2$ gegeven door
$\begin{array}{rcl}F(\rv{x,y}) &=& \rv{-{\it x}-{\it y},-2 {\it x}-4 {\it y}}\\ G(\rv{x,y}) &=& \rv{5 {\it x}, -2 {\it x}-{\it y}}\end{array}$
Geef je antwoord in de vorm van een vector ter lengte twee, waarvan de componenten lineaire uitdrukkingen in $x$ en $y$ zijn.

$F\,G(\rv{x,y}) =$ $\rv{{\it y}-3 {\it x},4 {\it y}-2 {\it x}}$

Dit volgt uit onderstaande berekening.
$\begin{array}{rcl} F\, G(\rv{x,y}) &=&F(G(\rv{x,y}))\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{definitie samenstelling}}\\ &=&F(\rv{5 {\it x}, -2 {\it x}-{\it y}})\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{functievoorschrift voor }G\text{ ingevuld}}\\ &=& \rv{-{ (5 { x})}-{ (-2 { x}-{ y})}, -2 { (5 { x})}-4 { (-2 { x}-{ y})}}\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{functievoorschrift voor }F\text{ ingevuld}}\\ &=&\rv{{\it y}-3 {\it x}, 4 {\it y}-2 {\it x}}\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{componenten vereenvoudigd}}\\ \end{array}$

Nieuw voorbeeld