De inverse van een lineaire afbeelding

Lineaire afbeeldingen: Lineaire afbeeldingen

De inverse van een lineaire afbeelding

De gebruikelijke begrippen voor een functie als injectiviteit, surjectiviteit, bijectiviteit en inverse afbeelding komen hier aan de orde. Hieronder zijn $V$ en $W$ steeds vectorruimten. We brengen in herinnering dat, als $L :V\rightarrow V$ , we $L^2$ schrijven voor de samenstelling $L\, L$ en $L^n= L^{n-1} L$ voor $n=3,4,\ldots$ Onder $L^0$ verstaan we de identieke afbeelding $I:V\to V$ .

Inverteerbaarheid van een afbeelding

De afbeelding $L:V\to W$ heet

injectief als voor elke $\vec{x},\vec{y}\in V$ geldt: als $L(\vec{x})=L(\vec{y})$ dan $\vec{x}=\vec{y}$ ;
surjectief als voor elke $\vec{y}\in W$ er een vector $\vec{x}\in V$ bestaat met $L(\vec{x}) =\vec{y}$ ;
bijectief als ze injectief en surjectief is.

Als $L$ bijectief is, dan is $L$ inverteerbaar (ofwel: heeft een inverse), dat wil zeggen: er is een afbeelding $L^{-1}:W\to V$ , zodat $L\cdot L^{-1} =I_W$ en $L^{-1}\cdot L = I_V$ . De afbeelding $L^{-1}$ heet dan de inverse (afbeelding). In dat geval noemen we $L$ ook wel een isomorfisme.

Als er een isomorfisme bestaat van $V$ naar $W$ , dan heten $V$ en $W$ isomorf.

Als $L$ inverteerbaar is, $W=V$ en $n$ een natuurlijk getal, dan noteren we met $L^{-n}$ de samenstelling $\left(L^{-1}\right)^n$ .

De uitspraken over het bestaan van $L^{-1}$ zijn geldig voor alle bijectieve afbeeldingen. Daarom geven we hier geen apart bewijs.

Reële functies

Laat $L:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ de afbeelding zijn met $L(x)=a\cdot x+b$ voor vast gekozen reële getallen $a$ en $b$ .

Dan is $L$ dan en slechts dan injectief als $a\ne0$ , want

als $a\ne0$ en $x,y\in\mathbb{R}$ voldoen aan $L(x)=L(y)$ , dan geldt $a\,x+b = a\,y+b$ en dus $a\,(x-y) =0$ , zodat $x=y$ , waaruit blijkt dat $L$ injectief is, en
als $a=0$ , dan voldoen $x=0$ en $y=1$ aan $L(x)=b=L(y)$ , zodat $L$ niet injectief is.

In het geval dat $a\ne0$ is $L$ ook surjectief: als $a\ne0$ en $y\in \mathbb{R}$ , dan voldoet $x=\frac{1}{a}y-\frac{b}{a}$ aan $L(x) =a\left(\frac{1}{a}y-\frac{b}{a}\right) + b = y$ .

In het bijzonder is $L$ dan en slechts dan bijectief als $a\ne0$ , in welk geval de inverse afbeelding gelijk is aan

$L^{-1}(x) = \frac{1}{a}x-\frac{b}{a}$

De afbeelding $L$ is dan en slechts dan lineair als $b=0$ . In dat geval is $L^{-1}$ ook lineair. Dit is geen toeval, zoals uit onderstaande stelling blijkt.

Twee speciale gevallen

Voor elke vectorruimte $V$ is de identieke afbeelding $I: V \rightarrow V$ gegeven door $I(\vec{v}) =\vec{v}$ een isomorfisme.

Zijn $V$ en $W$ beide vectorruimten, dan is de nulafbeelding $O: V \rightarrow W$ gegeven door $O(\vec{v})=\vec{0}$ geen isomorfisme als $V$ niet triviaal is.

Hieronder zullen we zien dat $L^{-1}$ ook een lineaire afbeelding is.

Twee isomorfe vectorruimten zijn in wezen gelijk. Hiermee bedoelen we dat de namen van vectoren en dergelijke kunnen verschillen, maar dat de ene vectorruimte na toepassing van de bijectieve afbeelding (lees: de naamsverandering) identiek wordt aan de andere.

We zullen later zien dat elke reële eindigdimensionale vectorruimte van dimensie $n$ isomorf is met een coördinaatruimte. Dit betekent dat die vectorruimte na geschikte vertaling gezien kan worden als $\mathbb{R}^n$ .

De inverse van een inverteerbare lineaire afbeelding is ook inverteerbaar en lineair:

Als de lineaire afbeelding $L : V \rightarrow W$ een bijectie is, dan is de inverse afbeelding $L^{-1}: W \rightarrow V$ ook een lineaire afbeelding.

Als $\vec{v}$ , $\vec{w}\in W$ en $\alpha$ , $\beta$ scalairen zijn, dan zijn er vectoren $\vec{x}$ , $\vec{y} \in V$ met $L(\vec{x})=\vec{v}$ en $L(\vec{y}) =\vec{w}$ (omdat $L$ in het bijzonder surjectief is). De lineariteit van $L$ levert dan dat $L(\alpha \vec{x} +\beta \vec{y} )=\alpha \vec{v} + \beta \vec{w}$ zodat $L^{-1}(\alpha \vec{v} + \beta \vec{w})= \alpha \vec{x} + \beta \vec{y}$ . Anderzijds geldt $\vec{x} = L ^{-1}(\vec{v})$ en $\vec{y} = L ^{-1}(\vec{w})$ . We concluderen:
$L^{-1}(\alpha \vec{v} + \beta \vec{w}) = \alpha L ^{-1}(\vec{v}) + \beta L ^{-1}(\vec{w})$

Als een vierkante matrix $A$ een inverse heeft, dan is bijbehorende lineaire afbeelding ook inverteerbaar:

Als $A$ een inverteerbare $(n\times n)$ -matrix is, dan is de inverse van de lineaire afbeelding $L_A:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ bepaald door $A$ gelijk aan de lineaire afbeelding $L_{A^{-1}}:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ bepaald door de matrix $A^{-1}$ .

We moeten nagaan dat $L_AL_{A^{-1}} = L_{A^{-1}} L_A=I$ . Dit volgt onmiddellijk uit de stelling Samenstelling van afbeeldingen bepaald door matrices:

$\begin{array}{rcl}L_AL_{A^{-1}} &=&L_{A\,A^{-1}}\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{samenstelling van afbeeldingen bepaald door matrices}}\\ &=&L_{I}\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{definitie inverse van een matrix}}\\ &=&I\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{vermenigvuldiging met de identiteitsmatrix is de identieke afbeelding}}\end{array}$

Net zo kan worden bewezen dat $L_{A^{-1}}L_A=I$ .

Later zullen we afleiden dat elke lineaire afbeelding, na overgang op een coördinaatruimte, te schrijven is als $L_A$ voor een geschikte matrix $A$ en dat deze afbeelding dan en slechts dan inverteerbaar is als $A$ inverteerbaar is.

De lineaire afbeelding $L_A:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ bepaald door de matrix $A = \matrix{-18 & 65 \\ -5 & 18 \\ }$ is inverteerbaar. De inverse is een lineaire afbeelding $L_B$ bepaald door een $(2\times2)$ -matrix $B$ .

Bereken deze $(2\times2)$ -matrix $B$ .

$B=$ $\matrix{18 & -65 \\ 5 & -18 \\ }$

Omdat $L_A^{-1} = L_{A^{-1}}$ , kunnen we $B$ berekenen door de matrix $A$ te inverteren:
$\begin{array}{rcl}A^{-1} &=&{ \matrix{-18 & 65 \\ -5 & 18 \\ }}^{-1} \\ &=& \matrix{18 & -65 \\ 5 & -18 \\ }\end{array}$

Nieuw voorbeeld