Kern en beeld van een lineaire afbeelding

Lineaire afbeeldingen: Lineaire afbeeldingen

Kern en beeld van een lineaire afbeelding

Laat $V$ en $W$ vectorruimten zijn. Omdat een lineaire afbeelding $V\to W$ natuurlijk ook een gewone afbeelding is, kunnen we bijvoorbeeld spreken over het beeld van een vector of het beeld van een deelverzameling van $V$ en over het volledig origineel van een deelverzameling van $W$ .

Beeld en origineel

Laat $L : V \rightarrow W$ een afbeelding zijn, $D$ een deelverzameling van $V$ en $E$ een deelverzameling van $W$ .

Met $L (D)$ geven we het beeld van $D$ onder $L$ aan: de verzameling $\left\{L(\vec{d})\mid \vec{d}\in D\right\}$ .
Met $L^{-1}(E)$ geven we het volledig origineel van $E$ onder $L$ aan: de verzameling $\left\{\vec{x}\in V\mid L(\vec{x})\in E\right\}$ .

Voorbeeld

Laat de afbeelding $L:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ gegeven zijn door $L(x) = a\, x+ b$ .

Het beeld van $\mathbb{R}$ onder $L$ is gelijk aan $\mathbb{R}$ als $a\ne0$ en gelijk aan $\{b\}$ als $a=0$ .

Het volledig origineel van $\{c\}$ onder $L$ bestaat uit de oplossing van $a\,x+b=c$ en is dus gelijk aan

$\left\{\frac{c-b}{a}\right\}$ als $a\ne0$
$\mathbb{R}$ als $a=0$ en $b=c$
$\emptyset$ als $a=0$ en $b\ne c$

We noteren we het volledig origineel van $E$ onder $L$ met $L^{-1}(E)$ of $L^{\leftarrow}(E)$ . De eerste notatie is het meest ingeburgerd in de wiskunde, maar kan wel tot verwarring met de notatie voor de inverse van een afbeelding leiden. Om verwarring te voorkomen bij gebruik van deze notatie voegen we vaak de betekenis in woorden toe, bijvoorbeeld: "het volledig origineel $L^{-1}(E)$ van $E$ ".

Bij een lineaire afbeelding horen twee zeer belangrijke lineaire deelruimten.

Beeldruimte en kern

Laat $L :V \rightarrow W$ een afbeelding zijn. Definieer
$\begin{array}{rclcl} \im{L}&=&L(V) &=& \{ L (\vec{v}) \in W\mid\vec{v}\in V\} \\ \text{en}&&&&\\ \ker{L}&=& L^{-1}(\{\vec{0}\}) &=& \{\vec{v}\in V \mid L( \vec{v})=\vec{0}\} \end{array}$ $\im{L}$ heet het beeld of de beeldruimte van $L$ en $\ker{L}$ heet de nulruimte of kern van $L$ .

De beeldruimte is het beeld van $V$ onder de afbeelding $L$ en de nulruimte is het volledig origineel van $\{ \vec{0}\}$ onder $L$ .

De eerste definitie generaliseert de kolommenruimte van de coëfficiëntenmatrix (dat wil zeggen: het opspansel van de kolommen van die matrix), van een stelsel lineaire vergelijkingen.

De tweede definitie generaliseert de oplossingsruimte van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen.

Zoals eerder aangegeven, geven we met een $(m\times n)$ -matrix $A$ ook wel de erdoor bepaalde lineaire afbeelding $L_A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ aan (gegeven door $L_A(\vec{x}) = A\vec{x}$ ). Daarmee zijn meteen ook beeld en kern van $A$ gedefinieerd: $\im{A}=\im{L_A}$ en $\ker{A} = \ker{L_A}$ .

Zoals de naam al aangeeft, zijn beeldruimte en nulruimte van lineaire afbeeldingen lineaire deelruimten:

Laat $L :V \rightarrow W$ een lineaire afbeelding zijn.

Het beeld $\im{L}$ van $L$ is een lineaire deelruimte van $W$ .
De kern $\ker{L}$ van $L$ is een lineaire deelruimte van $V$ .

VoorbeeldLaat de afbeelding $L:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ gegeven zijn door $L(x) = a\, x+ b$ . De beeldruimte $\im{L}$ is gelijk aan $\mathbb{R}$ als $a\ne0$ . Maar als $a=0$ en $b\ne0$ (zodat $L$ een constante afbeelding ongelijk aan $0$ is), dan is de beeldruimte $\{b\}$ geen lineaire deelruimte. De kern $\ker{L}$ bestaat uit de oplossing van $a\,x+b=0$ en is dus gelijk aan

$\left\{\frac{-b}{a}\right\}$ als $a\ne0$
$\mathbb{R}$ als $a=0$ en $b=0$
$\emptyset$ als $a=0$ en $b\ne 0$

In het bijzonder is $\ker{L}$ geen lineaire deelruimte van $\mathbb{R}$ als $b\ne0$ . We zien dus weer dat $L$ alleen maar lineair kan zijn als $b=0$ .

De beeldruimte $\im{L}$ is een lineaire deelruimte van $W$ : Het is een deelverzameling van $W$ . De nulvector van $W$ is het beeld van de nulvector van $V$ en behoort dus tot $\im{L}$ . Als $\vec{u}$ , $\vec{v}$ tot $\im{L}$ behoren en $\alpha$ en $\beta$ scalairen zijn, dan zijn er vectoren $\vec{x}$ , $\vec{y}$ in $V$ zodat $L(\vec{x}) = \vec{u}$ en $L(\vec{y}) = \vec{v}$ , zodat uit de lineariteit van $L$ volgt:

$\begin{array}{rcl}\alpha \vec{u}+\beta \vec{v} &=& \alpha L(\vec{x})+\beta L(\vec{y})\\ &=&L(\alpha \vec{x})+L(\beta \vec{y})\\&=&L(\alpha \vec{x}+\beta \vec{y})\end{array}$ Hieruit concluderen we dat ook $\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}$ tot $\im{L}$ behoort, waarmee afgeleid is dat $\im{L}$ een lineaire deelruimte van $W$ is.

De kern $\ker{L}$ is een lineaire deelruimte van $V$ : Ze is een deelverzameling van $V$ die altijd de nulvector $\vec{0}$ bevat. Verder volgt uit de lineariteit van $L$ dat, als $\vec{x}$ en $\vec{y}$ tot $\ker{L}$ behoren en $\alpha$ en $\beta$ scalairen zijn, geldt

$L (\alpha \vec{x}+\beta \vec{y})=\alpha L(\vec{x})+\beta L(\vec{y})=\vec{0} + \vec{0}=\vec{0}$ zodat $\alpha \vec{x}+\beta \vec{y}\in{\ker{L}}$ .

We bepalen de kern en de beeldruimte van $L_A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ , de lineaire afbeelding bepaald door de $(2\times 3)$ -matrix $A=\matrix{ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 }$ Dit betekent dat, als we kolomvectoren gebruiken, het functievoorschrift van de afbeelding is $L_A \matrix{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 } = \matrix{ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 } \matrix{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 }$ De nulruimte van $L_A$ bestaat uit alle vectoren $\vec{x}$ die voldoen aan $\matrix{ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 } \matrix{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 } = \matrix{ 0 \\ 0}$ Dit is een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen met $A$ als coëfficiëntenmatrix. De nulruimte is het vlak met vergelijking $x_1 -x_2 +2x_3 =0$ .

De beeldruimte van $L_A$ bestaat uit alle vectoren van de vorm
$\matrix{ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 } \matrix{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 }$ dat wil zeggen: vectoren van de vorm
$x_1 \matrix {1 \\ 1 } + x_2 \matrix{ -1 \\ -1 } + x_3 \matrix{ 2 \\ 2 }$ Hiermee beschrijven we precies het opspansel van de kolommen van $A$ , dat wil zeggen: de kolommenruimte. We concluderen dat de beeldruimte gelijk is aan $\linspan{\cv{1\\ 1}}$

We bepalen ook het volledig origineel $L_A^{-1}(\ell)$ van de rechte $\ell$ met parametervoorstelling
$\ell : \quad\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 3\\ 2 \end{array} \right) + \lambda \left(\begin{array}{c} 2\\1 \end{array} \right)$ We zijn dus op zoek naar vectoren $\vec{x}$ waarvoor
$A\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 3+2\lambda \\ 2 + \lambda \end{array} \right)$ voor een of andere $\lambda$ . Dit betekent dat we het stelsel met aangevulde matrix
$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 3+2\lambda\\ 1 & -1 & 2 & 2+\lambda \\ \end{array} \right)$ moeten oplossen. Door vegen is eenvoudig af te leiden dat dit stelsel alleen oplossingen heeft voor $\lambda =-1$ . De oplossingen vormen precies het vlak met vergelijking $x_1 -x_2 +2x_3 =1$ .

Kun je ook aan de hand van de onderlinge positie van $\ell$ en de beeldruimte $\im{L_A}$ inzien dat de berekening van het volledig origineel beperkt kan worden tot de berekening van het volledig origineel van de vector $\cv{1\\1}$ ?

Als $A$ een matrix is, dan is het beeld van $L_A$ , de lineaire afbeelding bepaald door $A$ , de kolommenruimte (dat wil zeggen: het opspansel van de kolommen van die matrix) van $A$ en de kern van $L_A$ is de oplossingsruimte van een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen met coëfficiëntenmatrix $A$ . Zie het voorbeeld hierboven.

De nulruimte van de lineaire afbeelding $L_A$ bestaat precies uit alle vectoren $\vec{x}$ die voldoen aan $L_A( \vec{x})=\vec{0}$ , dat wil zeggen: alle oplossingen van het homogene stelsel $A \vec{x} = \vec{0}$ .

De beeldruimte van $L_A$ bestaat uit alle vectoren van de vorm $L_A( \vec{x})$ . Heeft $A$ kolommen $\vec{a}_1 , \ldots , \vec{a}_n$ , dan is dit precies de deelverzameling
$\left\{ x_1 \vec{a}_1 + \cdots + x_n\vec{a}_n \mid x_1, \ldots , x_n \in \mathbb{R}\right\}$ van $A$ . Dit is de kolommenruimte van $A$ .

Nulruimte en beeldruimte generaliseren dus twee begrippen uit de matrixwereld.

Bekijk de loodrechte projectie ${ P}$ in $\mathbb{R}^2$ op een rechte $\ell = \langle\vec{a}\rangle$ door de oorsprong. Als we de lengte van $\vec{a}$ gelijk aan $1$ kiezen, dan kunnen we $P$ algebraïsch beschrijven door het afbeeldingsvoorschrift ${ P}\vec{x} =( \dotprod{\vec{x}}{\vec{a}})\cdot \vec{a}$

De beeldruimte van $P$ is gelijk aan $\ell$ . Dit is meetkundig duidelijk (elk punt wordt geprojecteerd op $\ell$ ) en is algebraïsch af te leiden uit de het afbeeldingsvoorschrift. Dit laat immers zien dat elke vector in het beeld een scalair veelvoud van $\vec{a}$ is. Omdat het beeld een lineaire deelruimte is en $P(\vec{a}) = \vec{a}$ , moet de beeldruimte wel met $\linspan{\vec{a}} = \ell$ samenvallen.
De nulruimte is de lijn $\ell^{\perp}$ die loodrecht op $\ell$ staat en door de oorsprong gaat. De nulruimte bestaat immers uit alle vectoren $\vec{x}$ waarvoor $( \dotprod{\vec{x}}{\vec{a}})\cdot \vec{a} =\vec{0}$ , dat wil zeggen: $\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}} =0$ , en dit is precies het orthoplement van $\vec{a}$ .

We bespreken het Verband tussen stelsels lineaire vergelijkingen en affiene deelruimten nogmaals in het licht van de terminologie voor lineaire afbeeldingen.

Inverse beelden van lineaire afbeeldingen zijn affiene deelruimten

Laat $L :V \rightarrow W$ een lineaire afbeelding zijn en bekijk de vectorvergelijking $L (\vec{x})=\vec{b}$ .

De oplossing van de vergelijking is gelijk aan het volledig origineel $L^{-1}(\vec{b})$ van $\vec{b}$ onder $L$ . In het bijzonder geldt:

Als $\vec{b} \not\in \im{L}$ , dan is $L^{-1}(\vec{b})$ leeg en heeft de vergelijking geen oplossing.
Als $\vec{b} \in \im{L}$ , dan bestaat er een vector $\vec{p}$ zo dat $L( \vec{p})=\vec{b}$ . De vector $\vec{p}$ is een particuliere oplossing van de vectorvergelijking $L \vec{x}=\vec{b}$ . Alle oplossingen (ofwel: de algemene oplossing) van deze vectorvergelijking vormen de affiene deelruimte
$\vec{p}+\ker{L} = \left\{\vec{p}+\vec{n}\mid\vec{n}\in{ \ker{L}}\right\}$ met steunvector $\vec{p}$ en richtingsruimte $\ker{L}$ .

De particuliere oplossing in het algemeen niet uniek: elke oplossing kan optreden als particuliere oplossing. Evenzo kan elke vector in de affiene deelruimte $\vec{p}+\ker{L}$ optreden als steunvector.

Stelling Algemene en particuliere oplossing zegt dat we alle oplossingen van de vectorvergelijking $L(\vec{x})=\vec{b}$ krijgen door bij één particuliere oplossing alle oplossingen van de corresponderende homogene vergelijking te tellen. De corresponderende homogene vergelijking is (per definitie) de vergelijking $L (\vec{x})=\vec{0}$ . Van deze vergelijking vormen alle oplossingen precies de nulruimte $\ker{ L}$ . In het bijzonder heeft de vergelijking $L( \vec{x})=\vec{b}$ hooguit één oplossing als $\ker{L}=\{\vec{0}\}$ .

Het eerste deel van de uitspraak is triviaal. Voor het bewijs van het tweede deel laten we $\vec{p}$ een particuliere oplossing zijn. Voor iedere $\vec{n}$ geldt $L (\vec{p}+\vec{n})= L (\vec{p})+ L( \vec{n})=\vec{b}+\vec{0}=\vec{b}$ . Dus $\vec{p}+\vec{n}$ is ook een oplossing. Omgekeerd, als $\vec{q}$ een oplossing is, dan is $L (\vec{q}-\vec{p})= L( \vec{q})- L( \vec{p})=\vec{b}-\vec{b}=\vec{0}$ , zodat $\vec{q}-\vec{p}\in \ker{L}$ . Aangezien $\vec{q}=\vec{p}+(\vec{q}-\vec{p})$ is $\vec{q}$ inderdaad de som van $\vec{p}$ en een vector uit de nulruimte. Alle oplossingen vormen dus de affiene deelruimte $\vec{p}+\ker{L}$ .

Deze eigenschap wordt zeer vaak gebruikt bij het oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen.