Laat $m$ en $n$ natuurlijke getallen zijn.

We hebben niet alleen gezien dat een $(m\times n)$-matrix $A$ een lineaire afbeelding $L_A:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ bepaalt, maar ook dat elke lineaire afbeelding $L:V\to W$ van een vectorruimte $V$ met basis $\alpha$ ter lengte $n$ naar een vectorruimte $W$ met basis $\beta$ ter lengte $m$ geschreven kan worden als de samenstelling $L = \beta^{-1} L_A\alpha$ van drie lineaire afbeeldingen en als $L = L_A$, waarbij $A$ de $(m\times n)$-matrix $\left(\beta L\alpha^{-1}\right)_{\varepsilon}$ is. Hierbij zijn $\beta$ en $\alpha$ de coördinatiseringen ten opzichte van de bases met dezelfde naam. De matrix $A$ beschrijft de lineaire afbeelding behorende bij $L$ tussen de coördinaatruimten. Aldus bepaalt de matrix $A$ de lineaire afbeelding $L$ volledig.

Ook hebben we gezien dat de bewerkingen op lineaire afbeeldingen goed uit te drukken zijn in de bijbehorende matrices. We vatten dit samen in onderstaande tabel, waarbij we, voor $(m\times n)$-matrices $A$ en $B$, de bijbehorende lineaire afbeeldingen als volgt schrijven: $L = \beta^{-1} L_A\alpha$ en $M = \beta^{-1} L_B\alpha$.

$$\begin{array}{lc|r|cl}\text{bewerking}&&\text{matrix}&&\text{lineaire afbeelding }&&\\ \hline \text{som}&&A+B&&L+M\\ \text{scalair veelvoud}&&\lambda A&&\lambda\cdot L\\ \text{samenstelling}&&A\,B&&L\,M\\ \text{inverse}&&A^{-1}&&L^{-1}\\ \text{getransponeerde}&&A^{\top}&&L^\star\\ \hline\end{array}$$

De laatste is nieuw en wordt later behandeld in de context van duale ruimten.