Laat #m# en #n# natuurlijke getallen zijn.

We hebben niet alleen gezien dat een #(m\times n)#-matrix #A# een lineaire afbeelding #L_A:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m# bepaalt, maar ook dat elke lineaire afbeelding #L:V\to W# van een vectorruimte #V# met basis #\alpha# ter lengte #n# naar een vectorruimte #W# met basis #\beta# ter lengte #m# geschreven kan worden als de samenstelling #L = \beta^{-1} L_A\alpha# van drie lineaire afbeeldingen en als #L = L_A#, waarbij #A# de #(m\times n)#-matrix #\left(\beta L\alpha^{-1}\right)_{\varepsilon}# is. Hierbij zijn #\beta# en #\alpha# de coördinatiseringen ten opzichte van de bases met dezelfde naam. De matrix #A# beschrijft de lineaire afbeelding behorende bij #L# tussen de coördinaatruimten. Aldus bepaalt de matrix #A# de lineaire afbeelding #L# volledig.

Ook hebben we gezien dat de bewerkingen op lineaire afbeeldingen goed uit te drukken zijn in de bijbehorende matrices. We vatten dit samen in onderstaande tabel, waarbij we, voor #(m\times n)#-matrices #A# en #B#, de bijbehorende lineaire afbeeldingen als volgt schrijven: #L = \beta^{-1} L_A\alpha# en #M = \beta^{-1} L_B\alpha#.

\[\begin{array}{lc|r|cl}\text{bewerking}&&\text{matrix}&&\text{lineaire afbeelding }&&\\ \hline \text{som}&&A+B&&L+M\\ \text{scalair veelvoud}&&\lambda A&&\lambda\cdot L\\ \text{samenstelling}&&A\,B&&L\,M\\ \text{inverse}&&A^{-1}&&L^{-1}\\ \text{getransponeerde}&&A^{\top}&&L^\star\\ \hline\end{array}\]

De laatste is nieuw en wordt later behandeld in de context van duale ruimten.