Duale basis

Lineaire afbeeldingen: Duale vectorruimten

Duale basis

De in de nu volgende stelling geconstrueerde basis is handig bij het beschrijven van coördinaten.

Laat $\alpha = \vec{a}_1, \ldots , \vec{a}_n$ een basis van $V$ zijn.

Er is precies één basis $a_1^\star, \ldots , a_n^\star$ van $V^\star$ die voldoet aan
$a_i^\star(\vec{a}_j)= \begin{cases} 1& \quad \text{als } i = j\\ 0& \quad \text{als } i\neq j \end{cases}$
In het bijzonder geldt $\dim{V}=\dim{V^\star}$ als $V$ eindigdimensionaal is.
Als $\vec{a} \in V$ , dan is $\alpha(\vec{a}) = \rv{a_1^\star(\vec{a}), \ldots , a_n^\star(\vec{a})}$ de coördinaatvector van $\vec{a}$ .

De basis $a_1^\star, \ldots , a_n^\star$ van $V^\star$ heet de duale basis van $\vec{a}_1, \ldots , \vec{a}_n$ .

1. Volgens de stelling Lineaire afbeelding bepaald door bases bestaat er voor elke $i=1, \ldots , n$ precies één lineaire functie $a_i^\star : V\rightarrow \mathbb{R}$ met de in de stelling genoemde eigenschap.

Rest ons te bewijzen dat het stelsel $a_1^\star, \ldots , a_n^\star$ een basis is van $V^\star$ . Eerst tonen we aan dat het stelsel onafhankelijk is. Veronderstel dat, voor zekere scalairen $\lambda_1 ,\ldots,\lambda_n$ , geldt
$\lambda_1 a_1^\star + \cdots + \lambda_n a_n^\star = 0 \qquad (=\text{de nulfunctie})$
Pas nu het linker lid toe op de vector $\vec{a}_i$ en doe hetzelfde voor het rechter lid. Links vinden we $\lambda_i$ ; rechts vinden we $0$ . Aangezien dit voor $i=1,\ldots , n$ geldt, concluderen we dat $\lambda_1 = \cdots =\lambda_n=0$ . Het stelsel is dus onafhankelijk.

Vervolgens laten we zien dat elke vector $\varphi \in V^\star$ tot het opspansel $\linspan{a_1^\star, \ldots , a_n^\star}$ behoort. Het is eenvoudig na te gaan dat $\varphi(\vec{a}_1) a_1^\star +\varphi(\vec{a}_2) a_2^\star + \cdots + \varphi(\vec{a}_n) a_n^\star$ en $\varphi$ dezelfde waarden aannemen op $\vec{a}_1, \ldots , \vec{a}_n$ . Alweer wegens stelling Lineaire afbeeldingen bepaald door bases betekent dit dat $\varphi= \varphi(\vec{a}_1) a_1^\star +\varphi(\vec{a}_2) a_2^\star + \cdots + \varphi(\vec{a}_n) a_n^\star$ .

2. Als $\vec{a} = \lambda_1 \vec{a}_1 + \cdots +\lambda_n \vec{a}_n$ , dan is
$a_i^\star(\vec{a}) = \lambda_1 a_i^\star(\vec{a}_1) + \cdots + \lambda_n a_i^\star(\vec{a}_n) =\lambda_i$
vanwege de lineariteit van $a_i^\star$ .

Deze basis vervult een rol die enigszins te vergelijken is met die van een orthonormale basis in een inproductruimte. Als we het inproduct gebruiken om een vectorruimte $V$ van eindige dimensie $n$ met $V^\star$ te identificeren via de correspondentie $\begin{array}{rcl}V&\leftrightarrow&V^\star\\ \vec{a}&\leftrightarrow&a^\star (\vec{x}) = \dotprod{\vec{a}}{\vec{x}}\end{array}$ dan valt voor een orthonormale basis de duale basis samen met de orthonormale basis.

Laat $\basis{\vec{e}_1, \vec{e}_2}$ de standaardbasis van $\mathbb{R}^2$ zijn.

De duale basis van de basis $\alpha =\basis{ \vec{e}_1+ \vec{e}_2, \vec{e}_1}$ van $\mathbb{R}^2$ is $\alpha^\star =\basis{ e_2^\star, e_1^\star -e_2^\star}$ , waarbij $\basis{e_1^\star, e_2^\star}$ de duale basis van $\basis{\vec{e}_1, \vec{e}_2}$ is.

Het uitrekenen van de $\alpha$ -coördinaten van de vector $\rv{3,7}=3\, \vec{e}_1 + 7\, \vec{e}_2$ is dan eenvoudig: de eerste coördinaat is $e_2^\star (3\, \vec{e}_1 + 7\, \vec{e}_2)= 7$ , de tweede coördinaat is $({e}_1^\star -{e}_2^\star)(3\, \vec{e}_1 + 7\, \vec{e}_2)= 3-7=-4$ .

De afbeelding $a_i^\star$ wijst aan elke vector $\vec{x}$ van $V$ de coëfficiënt $x_i$ van $\vec{a}_i$ in de uitdrukking $\vec{x} = x_1\vec{a}_1+\cdots + x_n\vec{a}_n$ van $\vec{x}$ als lineaire combinatie van de basisvectoren toe.

Met matrixtechnieken kunnen we eenvoudig de duale basis van een basis voor $\mathbb{R}^n$ bepalen:

Duale basis via inverse matrix

Laat $\vec{a}_1, \ldots , \vec{a}_n$ een basis voor $\mathbb{R}^n$ zijn en verzamel deze vectoren als kolommen in de matrix $A$ . Dan bestaat de duale basis van $\vec{a}_1, \ldots , \vec{a}_n$ uit de rijen van de inverse matrix van $A$ .

De matrix $A$ is gelijk aan ${}_{\epsilon}I_{\alpha}$ . Elke vector uit de bij $\vec{a}_1, \ldots , \vec{a}_n$ horende duale basis $\vec{a}_1^\star, \ldots , \vec{a}_n^\star$ is te schrijven als lineaire combinatie van ${e}_1^\star, \ldots , {e}_n^\star$ , zeg, ${a}_i^\star = b_{i1}\, {e}_1^\star + \cdots + b_{in}\, {e}_n^\star$ . De $b_{ij}$ 's verzamelen we in de matrix $B$ . Nu volgt ${a}_i^\star (\vec{a}_j)= b_{i1}\cdot a_{1j}+ \cdots + b_{in}\cdot a_{nj}$
In het rechter lid staat het element $i,j$ van de productmatrix $B\,A$ . In het linker lid staat 1 als $i=j$ en $0$ anders. Dit betekent dat $I=B\,A$ . Dus $B$ is de inverse van $A$ .
De rijen van $B$ leveren de coëfficiënten van de vectoren ten opzichte van de duale basis.

Om de duale basis van $\vec{e}_1+ \vec{e}_2$ , $\vec{e}_1$ te bepalen inverteren we de matrix
$\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 0\end{array}\right)$
en vinden
$\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & -1\end{array}\right)$
De duale basis is dus ${e}_2^\star$ (eerste rij), ${e}_1^\star -{e}_2^\star$ (tweede rij).

Bepaal de duale basis van de basis $\basis{\rv{-1 , 0 }, \rv{-2 , 1 }}$ voor $\mathbb{R}^2$ .

Geef je antwoord in de vorm van een matrix waarvan de rijen de coördinaatvectoren ten opzichte van de duale basis van de standaardbasis zijn.

$\matrix{-1 & -2 \\ 0 & 1 \\ }$

Om de duale basis van $\basis{\rv{-1 , 0 }, \rv{-2 , 1 }}$ te bepalen inverteren we de matrix $A$ waarvan de kolommen de basisvectoren zijn.
$\begin{array}{rcl} A &=& \matrix{-1 & -2 \\ 0 & 1 \\ }\\ A^{-1} &=& \matrix{-1 & -2 \\ 0 & 1 \\ }\end{array}$ Volgens de stelling Duale basis via inverse matrix bestaat de duale basis uit de rijen van deze matrix.

Nieuw voorbeeld