Injectiviteit en surjectiviteit brengen we in verband met de nulruimte en beeldruimte van een lineaire afbeelding.
Laat # L :V \rightarrow W# een lineaire afbeelding zijn.
- De afbeelding # L # is dan en slechts dan injectief als #\ker{L}= \{ \vec{0} \} #.
- De afbeelding # L # is dan en slechts dan surjectief als #\im{L}= W #.
Stel nu dat bovendien #V# eindige dimensie #n# heeft en dat #\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n}# een basis van #V# is.
- De afbeelding # L # is dan en slechts dan injectief als #\basis{L(\vec{a}_1),\ldots,L(\vec{a}_n)}# lineair onafhankelijk is.
- De afbeelding # L # is dan en slechts dan surjectief als #\linspan{L(\vec{a}_1),\ldots,L(\vec{a}_n)}= W #.
We bewijzen de eerste uitspraak over injectiviteit eerst:
#\Rightarrow#: We moeten bewijzen dat # L( \vec{x}) = L( \vec{y})# impliceert # \vec{x} = \vec{y}# voor alle #\vec{x},\vec{y}\in V#. Als # L (\vec{x}) = L( \vec{y})#, dan volgt #\vec{0} = L (\vec{x}) - L( \vec{y}) = L ( \vec{x} - \vec{y})#, zodat # \vec{x} - \vec{y}\in \ker{L}#. Omdat #\ker {L}# enkel uit de nulvector bestaat, concluderen we dat # \vec{x} - \vec{y} =\vec{0}# ofwel # \vec{x} = \vec{y}#.
#\Leftarrow#: Als # \vec{x}\in \ker{L}#, dan is # L \vec{x} = L \vec{0}#. Uit de injectiviteit van #L# volgt dat # \vec{x} = \vec{0}#, dus het enige element van #\ker{L}# is de nulvector.
De eerste uitspraak over surjectiviteit volgt direct uit de definitie van surjectiviteit: deze geeft aan dat #L# surjectief is dan en slechts dan als elke vector in #W# geschreven kan worden als het beeld van een vector in #V#, dus als element van #\im{L}#.
Laat nu #n# een natuurlijk getal zijn en laat #\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n}# een basis van #V# zijn.
Een vector #\vec{x}\in V# behoort dan en slechts dan tot #\ker{L}# als #L\vec{x} = \vec{0}#. Als we #\vec{x}# schrijven als lineaire combinatie van de gegeven basis, en de lineariteit van #L# gebruiken, dan zien we dat \[L\vec{x} =x_1\cdot L(\vec{a}_1)+\cdots+x_n\cdot L(\vec{a}_n)\]De kern #\ker{L}# bevat dus dan en slechts dan een vector ongelijk aan #\vec{0}# als er een niet-triviale relatie \[x_1\cdot L(\vec{a}_1)+\cdots+x_n\cdot L(\vec{a}_n )=\vec{0}\] bestaat. Dit bewijst de eerste uitspraak.
We zijn toe aan het bewijs van de laatste uitspraak. Als \(\basis{L(\vec{a}_1),\ldots,L(\vec{a}_n)}\) de vectorruimte #W# opspant, dan geldt #\im{L}=W# omdat #\im{L}=\linspan{L(\vec{a}_1),\ldots,L(\vec{a}_n)}#. De afbeelding #L# is dus surjectief.
Voor het bewijs van het omgekeerde, nemen we aan dat #L# surjectief is, zodat #\im{L}=W# (wegens het criterium voor surjectiviteit). Stelling Beeld als opspansel geeft dan dat
\[ W=\im{L}=\linspan{L(\vec{a}_1),\ldots,L(\vec{a}_n)}\]
Hiermee is de stelling bewezen.
Met behulp hiervan geven we aan wanneer een lineaire afbeelding #V\rightarrow W# met #\dim{V}\lt\infty# een inverse heeft.
Laat # L :V\rightarrow W# een lineaire afbeelding zijn en veronderstel #\dim{V}\lt\infty#.
- #L# is dan en slechts dan inverteerbaar als #\dim{V}=\dim{W}# en #\ker{L}=\{\vec{0}\}#.
- #L# is dan en slechts dan inverteerbaar als #\dim{\im{L}}=\dim{V}=\dim{W}#.
- Laat #\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n}# een basis van #V# zijn. De afbeelding #L# is dan en slechts dan inverteerbaar als #\basis{L(\vec{a}_1),\ldots,L(\vec{a}_n)}# een basis is van #W#.
Hierbij komen de Dimensiestelling en bovenstaande Criteria voor injectiviteit en surjectiviteit van pas.
Bewijs van 1. Als # L # een inverse heeft, dan is de afbeelding een bijectie en dus is de afbeelding injectief en surjectief. Uit genoemde stelling volgt dan #\ker{L} =\{\vec{0}\}# en #W={\im{L}}#. De dimensiestelling geeft \[\begin{array}{rcl}\dim{V}&=&\dim{\ker{L}}+\dim{\im{L}}\\ &=& \dim{\{\vec{0}\}}+\dim{W}\\ &=& \dim{W}\end{array}\] zodat #\dim{V}=\dim{W}#. Inverteerbaarheid van #L# impliceert dus #\ker{L} =\{ \vec{0}\}# en #\dim{V}=\dim{W}#.
Omgekeerd kunnen we uit deze laatste gegevens concluderen dat # L# een inverse heeft: uit #\ker{L} = \{ \vec{0}\}# en de dimensiestelling volgt namelijk #\dim{V} =\dim{{\im{L}}}#; samen met het gegeven #\dim{V}=\dim{W}# geeft dit #\dim{{\im{L}}} =\dim{W}#. Blijkbaar geldt #{\im{L}} =W#. Omdat #\ker{L} =\{\vec{0}\}# en #{\im{L}} =W#, volgt uit bovenstaande Criteria voor injectiviteit en surjectiviteit dat #L# injectief en surjectief is, dus een inverse heeft.
Bewijs van 2. De vorige uitspraak zegt dat #L# dan en slechts dan inverteerbaar is als # \dim{V}=\dim{W}# en #\ker{L}=\{\vec{0}\}#. De dimensiestelling zegt \[ \dim{V}=\dim{\ker{L}}+\dim{\im{L}}\]
Omdat #\ker{L}=\{\vec{0}\}# equivalent is met #\dim{\ker{L}}=0#, concluderen we dat #L# dan en slechts dan inverteerbaar is als # \dim{V}=\dim{W}# en #\dim{V} =\dim{\im{L}}#.
Bewijs van 3. Dit volgt direct uit bovenstaande Criteria voor injectiviteit en surjectiviteit, want #L# is dan en slechts dan inverteerbaar als #L# injectief en surjectief is, dus dan en slechts dan als #\basis{L(\vec{a}_1),\ldots,L(\vec{a}_n)}# lineair onafhankelijk is en #\linspan{L(\vec{a}_1),\ldots,L(\vec{a}_n)}= W #. Volgens de definitie Basis en dimensie vormen de vectoren #\basis{L(\vec{a}_1),\ldots,L(\vec{a}_n)}# dan en slechts dan een basis van #W# als ze aan de laatste twee voorwaarden tezamen voldoen.
Ga zelf na dat in het eerste criterium van deze stelling de voorwaarde #\ker{L}=\{\vec{0}\}# vervangen mag worden door de voorwaarde #\im{L}=W#.
De voorwaarde #\dim{V}\lt\infty# is noodzakelijk, zoals uit onderstaand voorbeeld blijkt: Laat #V = W# de vectorruimte zijn van alle veeltermen in #x#. De afbeelding #L:V\to V# die aan elke veelterm #p(x)# de veelterm # x\cdot p(x)# toevoegt, is lineair en injectief, zodat in deze situatie voldaan is aan #\dim{V}=\dim{W}=\infty# en #\ker{L}=\{\vec{0}\}#. Maar er is geen veelterm #q(x)# in #V# met #L(q(x))=1#, dus #L# is niet surjectief en dus ook niet inverteerbaar.
Laat #A# een #(m\times n)#-matrix zijn. We bekijken de betekenis van de stelling voor de lineaire afbeelding #L_A:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m# bepaald door #A#.
We hebben eerder gezien dat, als #A# inverteerbaar is, de lineaire afbeelding #L_A# inverteerbaar is met inverse #L_{A^{-1}}#. Dit forceert #m=n#, in overeenstemming met de eerste twee criteria voor inverteerbaarheid.
Stel nu dat #L_A# inverteerbaar is. Dan is er een lineaire afbeelding #L^{-1}:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n# met de eigenschap #L_A \,L^{-1} = I_m#, waarbij #I_m# de identieke afbeelding op #\mathbb{R}^m# is. Volgens de laatste uitspraak van de stelling Lineaire afbeelding bepaald door basis is er een #(n\times m)#-matrix #B#, zodat #L^{-1} = L_B#. Met gebruikmaking van #L_A \,L^{-1} = I_m# vinden we nu
\[L_{A\,B} = L_A \,L_B = L_A \,L^{-1} =I_m\]
Dit kan alleen gelden als #A\,B = I#, waaruit volgt dat de matrix #A# inverteerbaar is met inverse #B#.
De conclusie is dat #L_A# precies dan inverteerbaar is als #A# inverteerbaar is. De criteria komen er op neer dat dit dan en slechts dan het geval is als #m=n# en de kolommen van #A# lineair onafhankelijk zijn. Zoals we later zullen zien, betekent dit dat de rang van #A# gelijk is aan #m# en aan #n#.
Een belangrijk speciaal geval doet zich voor als #V# en #W# gelijke eindige dimensie hebben:
Voor een lineaire afbeelding #L: V\to W# tussen twee vectorruimten #V# en #W# met gelijke en eindige dimensies #\dim{V}=\dim{W}\lt\infty# zijn de volgende uitspraken gelijkwaardig:
- #L# is inverteerbaar
- #L# is injectief
- #L# is surjectief
Het is bekend dat #L# dan en slechts dan injectief en surjectief is als #L# bijectief is en dat #L# dan en slechts dan bijectief is als het inverteerbaar is. Het is dus voldoende te bewijzen dat #L# dan en slechts dan injectief is als het surjectief is.
Stel dat #L# injectief is. Volgens het criterium voor injectiviteit geldt dan #\ker{L}=\{\vec{0}\}#, wat gelijkwaardig is aan #\dim{\ker{L}}=0#. Volgens de dimensiestelling geldt
\[
\dim{V}=\dim{\ker{L}}+\dim{\im{L}}
\] zodat #\dim{V}=\dim{\im{L}}#. In ons geval geldt #\dim{V}=\dim{W}#, zodat #\dim{\im{L}}=\dim{W}#. Omdat #\im{L}# een deelruimte is van #W#, volgt hieruit #\im{L}=W#. Volgens het criterium voor surjectiviteit is #L# dan surjectief.
Wanneer we bovenstaande redenering van achteren naar voren volgen, zien we dat de aanname dat #L# surjectief is, impliceert dat #L# injectief is.
Hiermee is de stelling bewezen.
De aanname dat #V# en #W# gelijke eindige dimensie hebben is noodzakelijk:
- Als #V = W=P#, de vectorruimte van alle veeltermen in #x#, dan is differentiëren, de afbeelding #L = \frac{\dd}{\dd x}:P\to P#, een surjectieve lineaire afbeelding met #\ker{L}=\linspan{1}#. De afbeelding #L# is dus niet injectief. Hier is niet voldaan aan de voorwaarde dat de dimensie van #V# eindig is.
- Als #V = \mathbb{R}^n# en #W = \mathbb{R}^m# en #L:V\to W# is een injectieve lineaire afbeelding, dan is volgens de dimensiestelling #\dim{\im{L}}=n#. In dit geval is #L# dus alleen surjectief als #m =n#.
- Als #V = \mathbb{R}^n# en #W = \mathbb{R}^m# en #L:V\to W# is een surjectieve lineaire afbeelding, dan is volgens de dimensiestelling #\dim{\ker{L}}=n-m#. In dit geval is #L# dus alleen injectief als #m =n#.
De volgende stelling is nuttig voor samenstellingen met inverteerbare afbeeldingen:
Laat #L: V\to W#, #S: W\to X# en #T: U\to V# lineaire afbeeldingen zijn waarvan minstens #S# en #T# inverteerbaar zijn. Dan geldt \[\begin{array}{rcl}\ker{S\,L}&=&\ker{L}\\\im{L\,T}&=&\im{L}\\\dim{\im{S\,L\,T}}&=&\dim{\im{S\,L}}=\dim{\im{L}}\end{array}\]
De afbeeldingen #S# en #T# zijn beide inverteerbaar dus beide zowel injectief als surjectief. We maken gebruik van de definities van Kern en beeld van een lineaire afbeelding en de dimensiestelling.
\[\begin{array}{rcll}\ker{S\,L}&=&\left\{\vec{v}\in V\;|\;S\,L\,\vec{v}=\vec{0}\right\}&\color{blue}{\text{definitie van kern}}\\&=&\left\{\vec{v}\in V\;|\; L\,\vec{v}\in\ker{S}\right\}&\color{blue}{\text{definitie van kern}}\\&=&\left\{\vec{v}\in V\;|\; L\,\vec{v}=\vec{0}\right\}&\color{blue}{S\text{ is injectief dus }\ker{S}=\left\{\vec{0}\right\}}\\&=&\ker{L}&\color{blue}{\text{definitie van kern}}\end{array}\]\[\begin{array}{rcll}\im{L\,T}&=&\left\{L\,T\,\vec{u}\;|\;\vec{u}\in U\right\}&\color{blue}{\text{definitie van beeld}}\\&=&\left\{L\,\vec{v}\;|\;\vec{v}\in\im{T}\right\}&\color{blue}{\vec{v}=T\,\vec{u}\text{ gekozen}}\\&=&\left\{L\,\vec{v}\;|\;\vec{v}\in V\right\}&\color{blue}{T\text{ is surjectief dus }\im{T}=V}\\&=&\im{L}&\color{blue}{\text{definitie van beeld}}\end{array}\]\[\begin{array}{rcll}\dim{\im{S\,L}}&=&\dim{V}-\dim{\ker{S\,L}}&\color{blue}{\text{dimensiestelling}}\\&=&\dim{V}-\dim{\ker{L}}&\color{blue}{\ker{S\,L}=\ker{L}}\\&=&\dim{\im{L}}&\color{blue}{\text{dimensiestelling}}\end{array}\]\[\begin{array}{rcll}\dim{\im{S\,L\,T}}&=&\dim{\im{S\,L}}&\color{blue}{\im{M\,T}=\im{M}\text{ met }M=S\,L}\\&=&\dim{\im{L}}&\color{blue}{\dim{\im{S\,L}}=\dim{\im{L}}}\end{array}\]Voor de volledigheid geven we ook nog de relatie tussen de kernen van #L\,T# en #L#:\[\begin{array}{rcll}\dim{\ker{L\,T}}&=&\dim{U}-\dim{\im{L\,T}}&\color{blue}{\text{dimensiestelling}}\\&=&\dim{U}-\dim{\im{L}}&\color{blue}{\im{L\,T}=\im{L}}\\&=&\dim{U}+\dim{\ker{L}}-\dim{V}&\color{blue}{\text{dimensiestelling}}\end{array}\]