Lineaire afbeeldingen bepaald door matrices

Lineaire afbeeldingen: Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen bepaald door matrices

Het volgende voorbeeld van een lineaire afbeelding tussen coördinaatruimten is essentieel voor het vervolg van dit hoofdstuk.

Laat $m$ en $n$ natuurlijke getallen zijn en $A$ een reële $(m\times n)$ -matrix. We schrijven elementen uit $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$ als kolommen.

Definieer de afbeelding $L_A: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ door
$L_A(\vec{x}) = A\vec{x}$ Deze afbeelding is lineair.

We noemen $L_A$ de lineaire afbeelding bepaald door $A$ . Vaak zullen we ook over $A$ als lineaire afbeelding spreken, in welk geval we $L_A$ bedoelen.

Als $m=n=1$ en $A=\matrix{a}$ , dan is $L_A$ de afbeelding $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ gegeven door
$L_A(x) = a\cdot x$ Linksvermenigvuldiging met een getal $a$ is dus een lineaire afbeelding $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ .

Voorbeeld 2

Als
$A=\matrix{ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 }$
dan is

het beeld van de vector $\cv{3\\ 1\\ 1}$ onder $L_A$ gelijk aan $\matrix{ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 }\cv{3\\ 1\\ 1}= \cv{4\\ 4}$ ;
het beeld van $5 \cdot \cv{3\\ 1\\ 1}$ onder $L_A$ gelijk aan $5\cdot \cv{4\\ 4}=\cv{20\\ 20}$ dankzij de lineariteit van $L_A$ .

We zullen later zien dat elke lineaire afbeelding tussen twee coördinaatruimten geschreven kan worden als de lineaire afbeelding van een matrix.

Als $\vec{x}$ en $\vec{y}$ twee elementen uit $\mathbb{R}^n$ zijn, dan volgt uit de regels voor matrixvermenigvuldiging dat voor alle scalairen $\alpha$ en $\beta$ geldt:
$\begin{array}{rcl}L_A(\alpha \vec{x} + \beta \vec{y}) &=& A(\alpha \vec{x} + \beta \vec{y}) \\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{definitie }L_A}\\ &=&\alpha A\vec{x} + \beta A\vec{y}\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{lineariteit van matrixvermenigvuldiging}}\\ &=& \alpha L_A(\vec{x}) + \beta L_A (\vec{y}) \\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{definitie }L_A}\end{array}$

Daarmee is de lineariteit van $L_A$ vastgesteld.

Met behulp van het standaardinproduct, dat we hieronder definiëren voor alle vectorruimten $\mathbb{R}^n$ , kunnen we matrices met één rij goed interpreteren.

Het standaardinproduct op $\mathbb{R}^n$ is gedefinieerd als de afbeelding die aan twee vectoren $\vec{x}=\rv{x_1,\ldots,x_n}$ en $\vec{y}=\rv{y_1,\ldots,y_n}$ het getal

$\dotprod{\vec{x}}{\vec{y}} = x_1\cdot y_1+\cdots +x_n\cdot y_n$

toevoegt. De vectoren $\vec{x}$ en $\vec{y}$ heten loodrecht als $\dotprod{\vec{x}}{\vec{y}} =0$ . De lengte van de vector $\vec{x}$ is het getal $\sqrt{\dotprod{\vec{x}}{\vec{x}}}$ .

Kies nu $\vec{a}\in\mathbb{R}^n$ vast.

De afbeelding die aan $\vec{x}$ in $\mathbb{R}^n$ het getal $\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}}$ toevoegt, is een lineaire afbeelding $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ .
Als $\vec{a}$ ongelijk is aan $\vec{0}$ , dan is er een unieke lineaire afbeelding $P_\ell$ die elk punt van de lijn $\ell = \linspan{\vec{a}}$ door de oorsprong op zichzelf afbeeldt en elke vector loodrecht op $\vec{a}$ op de oorsprong. De afbeelding $P_\ell$ heet de loodrechte projectie op $\ell$ en heeft als afbeeldingsvoorschrift
$P_\ell(\vec{x}) =\frac{\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}}}{\dotprod{\vec{a}}{\vec{a}}}\cdot\vec{a}$

Als $n=2$ of $n=3$ dan is $\dotprod{\vec{x}}{\vec{y}}$ het bekende standaardinproduct van $\vec{x}$ en $\vec{y}$ .

De afbeelding die aan $\vec{x}$ in $\mathbb{R}^n$ het getal $\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}}$ toevoegt, is de lineaire afbeelding $L_A$ bepaald door de $(1\times n)$ -matrix $A = \matrix{a_1&a_2&\cdots &a_n}$ .

Om het afbeeldingsvoorschrift van $P_\ell$ af te leiden, veronderstellen we $\vec{x}\in\mathbb{R}^n$ . Stel dat we $\vec{x}$ kunnen schrijven als de som van een scalair veelvoud $\lambda \cdot\vec{a}$ van $\vec{a}$ en een vector $\vec{u}$ loodrecht op $\vec{a}$ : $\vec{x} = \lambda\cdot\vec{a}+\vec{u}$

Lineariteit van het standaardinproduct met $\vec{a}$ geeft dan $\dotprod{\vec{a}}{\vec{x}}=\lambda\cdot(\dotprod{\vec{a}}{\vec{a}})+\dotprod{\vec{a}}{\vec{u}}=\lambda\cdot(\dotprod{\vec{a}}{\vec{a}})$ zodat we dankzij de aanname $\vec{a}\neq\vec{0}$ mogen schrijven

$\lambda = \frac{\dotprod{\vec{a}}{\vec{x}}}{\dotprod{\vec{a}}{\vec{a}}}$

Als we deze waarde voor $\lambda$ kiezen en $\vec{u} = \vec{x}-\lambda\cdot\vec{a}$ , dan hebben we inderdaad een schrijfwijze van $\vec{x}$ als een som van het scalaire veelvoud $\lambda\cdot\vec{a}$ van $\vec{a}$ en een vector $\vec{u}$ loodrecht op $\vec{a}$ . Dit betekent dat we het afbeeldingsvoorschrift van $P_\ell$ kunnen bepalen:

$\begin{array}{rcl} P_\ell(\vec{x}) &=& P_\ell(\lambda\cdot\vec{a}+\vec{u})\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{gevonden decompositie van }\vec{x}}\\ &=& \lambda\cdot P_\ell(\vec{a})+P_\ell(\vec{u})\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{lineariteit van }P_\ell}\\ &=& \lambda\cdot \vec{a}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\vec{a}\in\ell\text{ en }\vec{u} \text{ staat loodrecht op }\vec{a}}\\&=&\dfrac{\dotprod{\vec{a}}{\vec{x}}}{\dotprod{\vec{a}}{\vec{a}}}\cdot \vec{a}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{gevonden uitdrukking voor }\lambda}\\\end{array}$

De definitie van $P_{\ell}$ hangt niet af van de keuze van $\vec{a}$ op de lijn $\ell$ zolang deze maar ongelijk is aan de oorsprong: als we $\vec{a}$ vervangen door een andere vector $\mu\vec{a}$ in $\ell$ , waarbij $\mu$ een scalar ongelijk aan $0$ is, dan geldt

$\frac{\dotprod{\vec{x}}{(\mu\vec{a})} }{\dotprod{(\mu\vec{a})}{(\mu\vec{a})}}\cdot\mu\vec{a}=\frac{\mu^2\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}}}{\mu^2\dotprod{\vec{a}}{\vec{a}}}\cdot\vec{a}=P_\ell(\vec{x})$

In het bijzonder kunnen we $\dotprod{\vec{a}}{\vec{a}}$ (wat positief is als $\vec{a}$ niet de oorsprong is) gelijk aan $1$ kiezen, in welk geval $P_\ell(\vec{x}) = \left(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}}\right)\vec{a}$ .

Een soortgelijke uitdrukking bestaat voor de loodrechte projectie $P_U$ op een willekeurige lineaire deelruimte $U$ van $\mathbb{R}^n$ , de lineaire afbeelding die elke vector in $U$ op zichzelf afbeeldt en elke vector in $U^\perp$ op de nulvector. Als $\basis{\vec{a}_1, \ldots , \vec{a}_k}$ een orthonormale basis van de deelruimte $U$ is (dat wil zeggen: $\dotprod{\vec{a}_i}{ \vec{a}_j}$ is gelijk aan $0$ als $i\ne j$ en gelijk aan $1$ als $i=j$ ), dan geldt voor de loodrechte projectie $P_U$ :
$P_U(\vec{x}) = (\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1})\vec{a}_1 +\cdots + (\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_k})\vec{a}_k$

De lineaire afbeelding $L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ gedefinieerd door
$L\left(\rv{x,y}\right) = \rv{2 x-3 y,4 y+5 x}$ is bepaald door een matrix $A$ .

Welke matrix?

$A =$ $\matrix{2 & -3 \\ 5 & 4 \\ }$

Het gegeven dat $L$ bepaald is door een matrix $A$ betekent dat $L = L_A$ . De matrix $A=\matrix{a&b\\ c & d}$ moet dus voldoen aan $\matrix{a&b\\ c & d}\cv{x\\ y} =\matrix{2 x-3 y \\ 4 y+5 x}$ Vergelijking per element geeft
$\eqs{a\cdot x+ b\cdot y &=& 2 x-3 y\\ c\cdot x+ d\cdot y &=& 4 y+5 x}$
Hieruit volgt $a = 2$ , $b = -3$ , $c = 5$ en $d=4$ , zodat
$A = \matrix{2 & -3 \\ 5 & 4 \\ }$

Nieuw voorbeeld