De manier om te bezien of een basis rechtshandig georiënteerd is, heet ook wel de kurkentrekkerregel.

Als een basis niet rechtshandig georiënteerd is, dan is maar één andere mogelijkheid: zij is linkshandig georiënteerd. Als $\vec{v}$, $\vec{w}$, $\vec{u}$ rechtshandig georiënteerd is, dan is $\vec{w}$, $\vec{v}$, $\vec{u}$ linkshandig georiënteerd.

De vectoren $\vec{v}$ en $\vec{w}$ liggen dan en slechts dan op één lijn door de oorsprong als geldt $\varphi=0$ of $\pi$. In beide gevallen geldt $\sin(\varphi) = 0$, zodat $\vec{v}\times\vec{w}=\vec{0}$. De oriëntatie van de vectoren $\vec{v}$, $\vec{w}$ en $\vec{u}$ is in dit geval niet gedefinieerd.

We kiezen hier voor de korte hoek tussen de vectoren $\vec{v}$ en $\vec{w}$. De georiënteerde hoek tussen $\vec{v}$ en $\vec{w}$ is namelijk niet gedefinieerd: het vlak door de oorsprong, $\vec{v}$ en $\vec{w}$ heeft, zoals elk vlak in de ruimte, niet vanzelf een boven- en onderkant. In de 2-dimensionale theorie Inproduct en uitproduct bekijken we het platte vlak als het ware van boven. De georiënteerde hoek tussen de $x$-as en de $y$-as, of liever tussen $\rv{1,0}$ en $\rv{0,1}$, wordt gemeten door tegen de klok in van de één naar de ander te draaien. Als we deze coördinaten zien als de eerste twee coördinaten van de ruimte, dan komt dit overeen met de rechtshandige basis $\rv{1,0,0}$ (op de $x$-as), $\rv{0,1,0}$ (op de $y$-as), en $\rv{0,0,1}$ (op de $z$-as). Van boven kijken naar het platte vlak is dus te omschrijven als het kijken vanuit de positie van de derde basisvector van een rechtshandig georiënteerde basis. Met andere woorden, pas wanneer we een oriëntatie (zoals `tegen de klok in' of `van $\vec{v}$ naar $\vec{w}$ draaien') in het vlak vastleggen, kunnen we van een georiënteerde hoek tussen twee vectoren spreken. Een georiënteerde hoek is dus geen vanzelfsprekend begrip. Dit verklaart waarom we de georiënteerde hoek tussen $\vec{v}$ en $\vec{w}$ vermijden in de definitie van het uitproduct in de ruimte.

De scalar van de vector $\vec{u}$ in de definitie van het uitproduct zal nooit negatief zijn, want $\sin(\varphi)\ge0$ vanwege het feit dat $\varphi$ de korte hoek tussen $\vec{v}$ en $\vec{w}$ beschrijft.

De lengte van $\vec{v}\times\vec{w}$ is $\parallel\vec{v}\parallel\cdot\parallel\vec{w}\parallel\cdot\sin(\varphi)$. Hebben de vectoren $\vec{v}$ en $\vec{w}$ bijvoorbeeld allebei lengte $4$ en is de hoek tussen de twee vectoren gelijk aan $60^{\circ}$, dan is
$$\vec{v}\times \vec{w} = 4\cdot 4\cdot \sin\left( 60^{\circ}\right) \cdot\vec{u}= 4\cdot 4\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot \vec{u}= 8\sqrt{3}\cdot\vec{u}\tiny,$$ waarbij $\vec{u}$ de unieke vector van lengte $1$ is, zodat $\vec{v}$, $\vec{w}$, $\vec{u}$ rechtshandig georiënteerd is.

In de literatuur komen ook andere notaties van het uitproduct voor, zoals $\vec{v}\wedge\vec{w}$.

Het uitproduct wordt ook wel uitwendig product, vectorproduct, of kruisproduct genoemd.

Dit volgt direct uit de definitie van $\sin(\varphi)$ toegepast op de driehoek $OAB$, waarbij $O$ de oorsprong is, $A$ het eindpunt van de representant van $\vec{w}$ met beginpunt in de oorsprong, en $B$ de loodrechte projectie van $A$ op de lijn door $O$ en het eindpunt van de representant van $\vec{v}$ die in de oorsprong geplaatst is. Zie onderstaande figuur.

De laatste bewering volgt uit de lengte-maal-hoogte wet voor het oppervlak van een parallellogram, waarbij de lengte gelijk is aan $\parallel\vec{v}\parallel$ en de hoogte gelijk is aan $\parallel\vec{w}\parallel \cdot \sin( \varphi )$.