Vectorrekening in vlak en ruimte: Het uitproduct
De inhoud van een parallellepipedum
De inhoud van een parallellepipedum opgespannen door de vectoren #\vec{a}#, #\vec{b}# en #\vec{c}# (dat wil zeggen: met hoekpunten #\vec{0}#, #\vec{a}#, #\vec{b}#, #\vec{c}#, #\vec{a}+\vec{b}#, #\vec{a}+\vec{c}#, #\vec{b}+\vec{c}#, #\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}#), is uit te drukken in termen van een in- en een uitproduct:
De inhoud van een parallellepipedum
De inhoud van het parallellepipedum opgespannen door de vectoren #\vec{a}#, #\vec{b}# en #\vec{c}# in de ruimte is gelijk aan\[\left|\,(\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{c}\,\right|\]
De inhoud van het parallellepipedum is gelijk aan de oppervlakte van een basisparallellogram, laten we zeggen opgespannen door #\vec{a}# en #\vec{b}#, vermenigvuldigd met de hoogte. De oppervlakte van het parallellogram is gelijk aan #\parallel\vec{a}\times \vec{b}\parallel# zoals we al zagen in de stelling Het uitproduct in termen van twee lengtes. Omdat #\vec{a}\times \vec{b}# loodrecht staat op het parallellogram, is de hoogte gelijk aan de (lengte van de) projectie van #\vec{c}# op #\vec{a}\times \vec{b}#, dus aan de absolute waarde van #\parallel\vec{c}\parallel\cdot \cos (\varphi)# waarbij #\varphi# de hoek is tussen #\vec{c}# en #\vec{a}\times \vec{b}#. De inhoud is dus\[\parallel\vec{a}\times \vec{b}\parallel \cdot \parallel\vec{c}\parallel \cdot |\cos(\varphi)|=\left |\, (\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{c}\,\right|\]
Omdat de inhoud van het parallellepipedum op meerdere manieren te berekenen is, kunnen we hieruit nuttige gevolgen trekken. Hier is een voorbeeld.
Parallellepipedumregel
Als #\vec{a}#, #\vec{b}# en #\vec{c}# vectoren in de ruimte zijn, dan geldt\[(\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{c}=-(\vec{a}\times\vec{c})\cdot \vec{b}\]
Dit volgt uit inhoudsregels 2 en 3:
- De inhoud van het triangulair prisma met hoekpunten #\vec{0}#, #\vec{a}#, #\vec{b}#, #\vec{c}#, #\vec{a}+\vec{c}#, #\vec{b}+\vec{c}# is gelijk aan de inhoud van het triangulair prisma met hoekpunten #\vec{a}+\vec{b}#, #\vec{a}#, #\vec{b}#, #\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}#, #\vec{a}+\vec{c}#, #\vec{b}+\vec{c}#. De spiegeling aan het vlak door #\vec{a}#, #\vec{b}#, #\vec{a}+\vec{c}#, #\vec{b}+\vec{c}# voert immers de een in de ander over, zodat regel 2 toepasbaar is.
- De twee prisma's snijden elkaar in het vlak door #\vec{a}#, #\vec{b}#, #\vec{a}+\vec{c}#, #\vec{b}+\vec{c}#. Ze vormen samen het parallellepipedum opgespannen door #\vec{a}#, #\vec{b}#, #\vec{c}#. De inhoud van twee triangulaire prisma's als gegeven is dus, vanwege regel 3, gelijk aan de inhoud van het genoemde parallellepipedum, dus dankzij de theorie gelijk aan #\left|\,(\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{c}\,\right|#.
- Bijgevolg is de gevraagde inhoud gelijk aan #\frac{1}{2}\cdot\left|\,(\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{c}\,\right|#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
