Als $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ geen basis vormen, dan zijn beide zijden van de gelijkheid gelijk aan $\vec{0}$. We kunnen voor de rest van het bewijs dus aannemen dat $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ een basis is.

Volgens bovenstaande stelling is de inhoud van het parallellepipedum opgespannen door de vectoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ en $\vec{c}$ gelijk aan $\varepsilon\cdot(\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{c}$, waarbij $\varepsilon=\pm1$, zodanig dat de uitdrukking niet-negatief (en vanwege de aanname dat we met een basis te maken hebben, zelfs positief) is. Maar als we in deze formule $\vec{b}$ en $\vec{c}$ verwisselen, dan is de absolute waarde van het resultaat nog steeds de inhoud van hetzelfde parallellepipedum, terwijl de oriëntatie van $\vec{a}$, $\vec{c}$, $\vec{b}$ tegengesteld is aan die van $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$. Dit heeft tot gevolg dat $\varepsilon\cdot(\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{c}=-\varepsilon\cdot(\vec{a}\times\vec{c})\cdot \vec{b}$. Deling door $\varepsilon$ geeft $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{c}=-(\vec{a}\times\vec{c})\cdot \vec{b}$, wat te bewijzen was.