Vectorrekening in vlak en ruimte: Afstanden, hoeken en inproduct
Inproduct
De twee grootheden die een vector bepalen zijn lengte en richting. Om de richting vast te leggen, werken we met hoeken. De cosinus van de hoek die twee vectoren onderling maken, is terug te vinden in onderstaande definitie van het inproduct.
Het inproduct
Het inproduct van twee vectoren en is een getal, dat genoteerd wordt als en gedefinieerd is als
waarbij de hoek is die de twee vectoren en met elkaar maken als en ongelijk aan de nulvector zijn. Is een van beide vectoren de nulvector, dan is het inproduct per definitie gelijk aan .
De hoek is de korte hoek die en maken; preciezer: die twee representanten van de deze vectoren met hetzelfde beginpunt maken. In het bijzonder geldt . De georiënteerde hoek, die in het vlak goed gedefinieerd is door de oriëntatie "tegen de klok in", is in de ruimte niet bepaald: het is immers niet goed vast te leggen of we een vlak van boven of van onder bekijken; hierdoor is afspraak over de oriëntatie niet te maken.
Hebben de vectoren en bijvoorbeeld allebei lengte en is de hoek tussen de twee vectoren gelijk aan , dan is
Bij een hoek van wordt het inproduct . In het bijzonder kan het inproduct negatief zijn.
In de literatuur komen ook andere notaties voor, zoals of .
Het inproduct wordt ook wel inwendig product of scalair product genoemd.
Als je het inproduct van twee vectoren (ongelijk ) kent en hun lengtes, dan kun je de cosinus van de hoek tussen de vectoren berekenen:
Zodra we het inproduct in coördinaten hebben uitgedrukt en een formule hebben gevonden om het introduct uit te rekenen, is dit een zeer bruikbare rekenmethode. Hier is nog een goede regel om het inproduct te berekenen.
Het inproduct als product van twee lengtes
Laat en twee vectoren zijn, zodat niet de nulvector is, laat een lijn zijn met richtingsvector , en laat en twee punten in de ruimte zijn, zodat een representant van is. Als en de loodrechte projecties van respectievelijk op zijn, dan geldt In het bijzonder hangt deze vector niet van de keuze van de plaatsing van of in de ruimte af en is het inproduct als volgt te bepalen:
- ;
- het teken van is niet-negatief als en in dezelfde richting wijzen, en negatief als dat niet het geval is.
Veronderstel eerst dat op ligt. Dan geldt en is een rechthoekige driehoek. Laat de hoek zijn tussen de vectoren en . Dan is waarbij als en dezelfde richting op wijzen, en anders. Inspectie van de driehoek leert dat Als , dan zijn beide zijden van de te bewijzen gelijkheid de nulvector. Daarom mogen we aannemen dat niet de nulvector is, zodat . Hieruit concluderen we
Hiermee is de formule afgeleid in het geval dat op ligt. Als dit niet het geval is, dan vergelijken we de oorspronkelijke situatie met de situatie waarin de vector over verschoven is. De projectie van het beginpunt van de nieuwe representant van is dan vanzelfsprekend en de projectie van het eindpunt van de nieuwe representant van is dan weer , omdat , en dus ook , verplaatst is in een richting loodrecht op . De linker en rechter zijde van de te bewijzen formule in de nieuwe situatie wijken dus niet af van de oude situatie. Maar de gelijkheid is in de nieuwe situatie bewezen, en moet dus ook in de oude situatie gelden. Hiermee is het bewijs van de formule compleet.
De onafhankelijkheid van de vector van de plaatsing van zal later gebruikt worden.
Deze formule geeft dus een mogelijkheid het inproduct van twee vectoren te berekenen door de scalar te bepalen die voorkomt in de projectie van een van de twee vectoren op de lijn door de andere.
Immers, als de hoek tussen de vectoren en is, dan geldt
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.