Het begrip vector

Vectorrekening in vlak en ruimte: Vectoren in vlak en ruimte

Het begrip vector

In het vlak en de ruimte werken we veel met vectoren.

Vector

Onder een vector verstaan we een pijl in het vlak of in de ruimte met een zekere richting en lengte. Met andere woorden: een vector is een lijnstuk met een richting; de plaatsing van de vector in het vlak of de ruimte is niet van belang. De norm of gewoon lengte van de vector is de lengte van het lijnstuk.

Verslepen we een vector zodat zijn beginpunt elders komt te liggen (maar richting en lengte onveranderd blijven), dan beschouwen we deze nieuwe pijl als een representant van dezelfde vector.

Vectoren noteren we doorgaans door een letter met een horizontale pijl erboven die naar rechts wijst:\[\vec{v}\]De vector die een representant heeft met beginpunt #P# en eindpunt #Q# wordt ook wel met #\vec{PQ}# aangeduid.

Er is één bijzondere vector, namelijk de vector van lengte \(0\). Deze vector bepaalt geen richting. We noemen deze vector de nulvector geven hem aan met \(\vec{0}\).

Plaatsing

Een vector kunnen we op verschillende plekken in het vlak of in de ruimte tekenen.

Notatie

In de literatuur kom je diverse andere notaties dan #\vec{v}# tegen, zoals \({\bf v}\), \(\underline{v}\), \(\bar{v}\) of gewoon #v#.

Nulvector

Als #P# een punt van de ruimte of het vlak is, dan is de vector #\vec{PP}# de nulvector.

We geven nu aan hoe we een vector kunnen vastleggen door middel van een punt van het vlak of de ruimte.

Correspondentie tussen vector en punt

In het vervolg zal het vaak voorkomen dat we een oorsprong #O# in het vlak of in de ruimte gekozen hebben. In die situatie is het gebruikelijk vectoren te laten starten in de oorsprong. De vector wordt dan uniek bepaald door het eindpunt, zodat vectoren gezien kunnen worden als punten in de ruimte. Het punt #P# wordt dan geïdentificeerd met de vector #\vec{OP}#. We zeggen dan dat de vector #\vec{OP}# met het punt #P# correspondeert.

VerwarringSoms zijn we niet consequent in het gebruik van beide zienswijzen (vector en punt als representant van de vector met beginpunt in de oorsprong), maar dat blijkt niet snel tot verwarring of fouten te leiden.

LengteDe lengte van de vector #\vec{OP}# is de afstand van #O# tot #P#.

In coördinaten De coördinaten #\rv{x,y}# van een punt in het vlak bepalen de vector met beginpunt #\rv{0,0}# en eindpunt #\rv{x,y}#. De vector in de ruimte met beginpunt #\rv{0,0,0}# en eindpunt #\rv{x,y,z}# correspondeert met het punt met coördinaten #\rv{x,y,z}#.

We geven nog aan hoe de lengte van een vector in #\mathbb{R}^2# of #\mathbb{R}^3# uitgedrukt kan worden in coördinaten.

De lengte van een vector in coördinaten

De lengte van een vector kan als volgt in coördinaten uitgedrukt worden.

De lengte van de vector #\rv{x,y}# in het vlak #{\mathbb R}^2# is #\sqrt{x^2+y^2}#.
De lengte van de vector #\rv{x,y,z}# in de ruimte #{\mathbb R}^3# is #\sqrt{x^2+y^2+z^2}#.

Voor #{\mathbb R}^2# volgt dit resultaat direct uit de stelling van Pythagoras. De lengte van de vector is immers de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met zijden ter lengte #|x|# en #|y|#.

Laat #\rv{x,y,z}# een punt in #{\mathbb R}^3# zijn. Dan is de lengte van de vector gelijk aan de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met zijden ter lengte #|z|# en #\sqrt{x^2+y^2}# (de lengte van de vector met coördinaten #\rv{x,y}# in het horizontale vlak). Een tweede toepassing van de stelling van Pythagoras geeft dat de lengte van die schuine zijde gelijk is aan \[ \sqrt{z^2+\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\]

Welke van de vectoren in het hieronder getekende vlak representeren de vector #\rv{5.6,2.2}#?

#t#, #u# en #w# voldoen, maar #s# en #v# niet.

#s# heeft niet de goede richting.

#v# heeft niet de goede lengte.

Als je het beginpunt van #t#, #u# of #w# naar #\rv{0,0}# versleept, dan komt het eindpunt op #\rv{5.6,2.2}# terecht.

Nieuw voorbeeld