Scalaire vermenigvuldiging

Vectorrekening in vlak en ruimte: Vectoren in vlak en ruimte

Scalaire vermenigvuldiging

Scalairen

We noteren met $\lambda \cdot\vec{v}$ de vector die uit de vector $\vec{v}$ ontstaat door deze vanuit zijn beginpunt met een getal $\lambda$ te vermenigvuldigen, met dien verstande dat we de richting van de vector $\vec{v}$ eerst omkeren als $\lambda \lt 0$ .

Met andere woorden: $\lambda \cdot\vec{v}$ is de vector waarvan

de lengte $\left|\lambda\right|$ maal de lengte van $\vec{v}$ is en
de richting gelijk aan die van $\vec{v}$ is als $\lambda\gt0$ en gelijk aan die van $-\vec{v}$ als $\lambda\lt0$ .

We noemen $\lambda \cdot\vec{v}$ een scalair veelvoud van $\vec{v}$ of kortweg veelvoud van $\vec{v}$ . Het (schalings)getal $\lambda$ waarmee we de vector vermenigvuldigen noemen we een scalar (meervoud: scalairen). Doorgaans schrijven we

$\vec{v}$ in plaats van $1\cdot\vec{v}$ ,
$-\vec{v}$ in plaats van $(-1)\cdot\vec{v}$ ,
$-3\cdot \vec{v}$ in plaats van $(-3)\cdot\vec{v}$ , enzovoort.

De vector $-\vec{v}$ heet wel de tegengestelde van $\vec{v}$ .

In de figuur hieronder zijn de vector $\vec{v}$ en enkele scalaire veelvouden, alle geplaatst in de oorsprong, geportretteerd.

NotatieScalairen geven we vaak aan met Griekse letters, maar het is natuurlijk geen verplichting Griekse letters te gebruiken.

Een vector kan zijn richting verliezen door vermenigvuldiging met $0$ : als $\lambda=0$ , dan is de richting van $\lambda \cdot\vec{v}$ onbepaald, want dan is $\lambda \cdot\vec{v}=\vec{0}$ .

Als $\vec{u}$ een niet-nul vector is en een scalair veelvoud van $\vec{v}$ , dan is $\vec{v}$ een scalair veelvoud van $\vec{u}$ . Als immers $\lambda$ een scalar is met $\vec{u}=\lambda\cdot \vec{v}$ , dan moet $\lambda\ne0$ zijn (want anders zou $\vec{u}$ de nulvector zijn), en geeft scalaire vermenigvuldiging met $\lambda^{-1}$ de gelijkheid $\vec{v} = \lambda^{-1}\cdot \vec{u}$ .

Soms wordt de vermenigvuldigingspunt in de scalaire vermenigvuldiging weggelaten, zoals in $3 \vec{v}$ of $3\rv{-7,9}$ , maar we streven ernaar de punt in het algemeen goed te laten uitkomen. We zetten de scalar altijd links van de vector.

Scalaire vermenigvuldiging in coördinaten

Voor $\vec{v}$ in $\mathbb{R}^2$ wordt de scalaire vermenigvuldiging met $r$ gegeven door

$r\cdot\rv{x,y}=\rv{r\cdot x,r\cdot y}\tiny.$

Voor $\vec{v}$ in $\mathbb{R}^3$ wordt de scalaire vermenigvuldiging met $r$ gegeven door

$r\cdot\rv{x,y,z}=\rv{r\cdot x,r\cdot y,r\cdot z}\tiny.$

We behandelen het geval ${\mathbb R}^2$ . Het bewijs voor $\mathbb{R}^3$ , de ruimte, loopt niet wezenlijk anders.

We moeten laten zien dat $\rv{r\cdot x,r\cdot y}$ samenvalt met $r\cdot\vec{v}$ . Als $r=0$ , dan is $\rv {r\cdot x,r\cdot y}=\rv{0,0}=\vec{0}$ . Anderzijds is $0\cdot\vec{v}$ ook gelijk aan $0\cdot \vec{v}$ , want de lengte van $0\cdot \vec{v}$ is gelijk aan $0$ en $\vec{0}$ is de enige vector met lengte gelijk aan $0$ .

Voor de rest van het bewijs kunnen we aannemen dat $r\ne0$ . Om te kunnen concluderen dat $\rv{r\cdot x,r\cdot y}$ en $r\cdot\vec{v}$ samenvallen, is het voldoende vast te stellen dat beide vectoren dezelfde lengte en richting hebben.

De lengte van $\rv{r\cdot x,r\cdot y}$ is gelijk aan $\sqrt{(r\cdot x)^2+(r\cdot y)^2}=|r|\cdot \sqrt{x^2+y^2}\tiny,$ dus $|r|$ maal de lengte van $v$ . Dit is de lengte van $r\cdot\vec{v}$ .
We onderscheiden twee gevallen.
- Als $r\gt 0$ , dan is de richting van $\rv{r\cdot x,r\cdot y}$ gelijk aan die van $\rv{x,y}$ .
- Als $r\lt0$ , dan is de richting gelijk aan die van $\rv{-x,-y}$ , de richting van de vector die als representant het lijnstuk heeft dat in de oorsprong begint en in $\rv{-x,-y}$ eindigt, en dus ook als representant het lijnstuk heeft dat in $\rv{x,y}$ begint en in de oorsprong eindigt; dit is de richting van $-\vec{v}$ en dus ook van $r\cdot\vec{v}$ .
In beide gevallen is de richting van $\rv{r\cdot x,r\cdot y}$ dus gelijk aan die van $r\cdot \vec{v}$ .

Rekenregels voor scalaire vermenigvuldiging

Voor de scalaire vermenigvuldiging gelden de volgende rekenregels, waarbij $\vec{v}$ een vector en $\lambda$ , $\mu$ scalairen zijn.

$0\cdot \vec{v} = \vec{0}$
$\lambda\cdot\vec{0}=\vec{0}$
$\lambda\cdot (\mu\cdot \vec{v}) = (\lambda \cdot\mu) \cdot\vec{v}$
$-\left(\mu\cdot\vec{v}\right)=\left(-\mu\right)\cdot\vec{v}$

De derde regel in woorden: als je de vector $\vec{v}$ eerst met $\mu$ vermenigvuldigt en het resultaat vervolgens met $\lambda$ , dan is het resultaat gelijk aan de vector die je verkrijgt door $\vec{v}$ met het product $\lambda\cdot\mu$ te vermenigvuldigen.

De eerste regel is hierboven al afgeleid: $0\cdot \vec{v}$ heeft lengte $0$ en $\vec{0}$ is de enige vector met die eigenschap.

De tweede regel volgt ook uit de observatie dat $\vec{0}$ de enige vector ter lengte $0$ is.

De derde regel volgt onmiddellijk uit de eerste als $\lambda$ of $\mu$ gelijk is aan $0$ , want dan zijn beide zijden gelijk aan $\vec{0}$ . Als dit niet het geval is, dan kunnen we de gelijkheid afleiden door vast te stellen dat links en rechts van de gelijkheid vectoren staan met dezelfde richting en lengte.

De richting kan bij vermenigvuldiging alleen omslaan als het teken van de scalar negatief is. Omdat de scalairen links en rechts even vaak voorkomen, zijn de richtingen links en rechts gelijk.
De lengte van de vector links is $|\lambda|\cdot |\mu|$ maal de lengte van $\vec{v}$ . Maar dat is rechts ook het geval. De lengtes van $\lambda\cdot (\mu\cdot \vec{v})$ en $(\lambda \cdot\mu) \cdot\vec{v}$ zijn dus ook gelijk.

De vierde regel volgt uit de derde met $\lambda = -1$ :

$-\left(\mu\cdot\vec{v}\right) = (-1)\cdot \left(\mu\cdot\vec{v}\right) =\left((-1)\cdot \mu\right)\cdot\vec{v}=\left(-\mu\right)\cdot\vec{v}\tiny.$

Bereken $-3\cdot\rv{-3,7,-6}$ .

$\left[ 9 , -21 , 18 \right]$

De scalaire vermenigvuldiging in coördinaten geeft $\begin{array}{rcl}-3\cdot\rv{-3,7,-6}&=&\rv{-3\cdot -3, -3 \cdot 7, -3\cdot -6}\\ &=&\left[ 9 , -21 , 18 \right]\end{array}$ In de figuur hieronder is $\vec{v}$ het zwart getekende lijnstuk van de oorsprong naar $A$ en $r\cdot \vec{v}$ het rood getekende lijnstuk van de oorsprong naar $B$ .

Nieuw voorbeeld