Laat $\vec{v}$ en $\vec{w}$ twee vectoren zijn. Als ze gelijk zijn, dan liggen ze op een lijn door de oorsprong en dan is de een scalair veelvoud (met scalar $1$) van de ander. Voor de rest van het bewijs mogen we dus veronderstellen dat de twee vectoren niet gelijk zijn.

Laat $\ell$ de lijn zijn door $\vec{v}$ en $\vec{w}$. Deze lijn heeft parametervoorstelling $$\lambda\cdot\vec{v}+\left(1-\lambda\right)\cdot\vec{w}\tiny.$$

Stel eerst dat $\vec{w}=\mu\cdot\vec{v}$, dus dat $\vec{w}$ een scalair veelvoud is van $\vec{v}$ met scalar $\mu$. Omdat $\vec{v}$ en $\vec{w}$ verschillend zijn, geldt $\mu\ne1$ zodat we door $\mu-1$ kunnen delen. Daarom mogen we $\lambda=\frac{\mu}{\mu-1}$ kiezen: $$\begin{array}{rcl}\frac{\mu}{\mu-1}\cdot\vec{v}+\left(1-\frac{\mu}{\mu-1}\right)\cdot\vec{w}&=&\frac{\mu}{\mu-1}\cdot\vec{v}-\frac{1}{\mu-1}\cdot\vec{w}\\&=&\frac{\mu}{\mu-1}\cdot \vec{v}-\frac{\mu}{\mu-1}\cdot\vec{v}\\&=&\vec{0}\tiny.\end{array}$$ De oorsprong kan dus geschreven worden in bovenstaande parametervoorstelling van $\ell$; dat wil zeggen: $\vec{0}$ ligt op $\ell$.

We stellen nu het omgekeerde vast. We veronderstellen dat $\vec{0}$ op $\ell$ ligt en leiden af dat een van de twee vectoren $\vec{v}$, $\vec{w}$ een scalair veelvoud van de andere is. Bovenstaande parametervoorstelling geeft ons dat er een scalar $\lambda$ is, zodat $$\vec{0}=\lambda\cdot\vec{v}+\left(1-\lambda\right)\cdot\vec{w}\tiny.$$ Als $\lambda\ne0$, dan volgt na herschrijving $\vec{v} = \frac{\lambda-1}{\lambda}\cdot \vec{w}$. Als $\lambda\ne1$, dan volgt na herschrijving $\vec{w} = \frac{\lambda}{\lambda-1}\cdot \vec{v}$. Omdat altijd (minstens) één van tweeën, $\lambda\ne0$ of $\lambda\ne1$ geldt, zien we dat steeds een van de twee vectoren $\vec{v}$, $\vec{w}$ een scalair veelvoud van de andere is.

Hiermee is de stelling bewezen.