Laat #\vec{v}# en #\vec{w}# twee vectoren zijn. Als ze gelijk zijn, dan liggen ze op een lijn door de oorsprong en dan is de een scalair veelvoud (met scalar #1#) van de ander. Voor de rest van het bewijs mogen we dus veronderstellen dat de twee vectoren niet gelijk zijn.

Laat #\ell# de lijn zijn door #\vec{v}# en #\vec{w}#. Deze lijn heeft parametervoorstelling\[\lambda\cdot\vec{v}+\left(1-\lambda\right)\cdot\vec{w}\tiny.\]

Stel eerst dat #\vec{w}=\mu\cdot\vec{v}#, dus dat #\vec{w}# een scalair veelvoud is van #\vec{v}# met scalar #\mu#. Omdat #\vec{v}# en #\vec{w}# verschillend zijn, geldt #\mu\ne1# zodat we door #\mu-1# kunnen delen. Daarom mogen we #\lambda=\frac{\mu}{\mu-1}# kiezen:\[\begin{array}{rcl}\frac{\mu}{\mu-1}\cdot\vec{v}+\left(1-\frac{\mu}{\mu-1}\right)\cdot\vec{w}&=&\frac{\mu}{\mu-1}\cdot\vec{v}-\frac{1}{\mu-1}\cdot\vec{w}\\&=&\frac{\mu}{\mu-1}\cdot \vec{v}-\frac{\mu}{\mu-1}\cdot\vec{v}\\&=&\vec{0}\tiny.\end{array}\]De oorsprong kan dus geschreven worden in bovenstaande parametervoorstelling van #\ell#; dat wil zeggen: #\vec{0}# ligt op #\ell#.

We stellen nu het omgekeerde vast. We veronderstellen dat #\vec{0}# op #\ell# ligt en leiden af dat een van de twee vectoren #\vec{v}#, #\vec{w}# een scalair veelvoud van de andere is. Bovenstaande parametervoorstelling geeft ons dat er een scalar #\lambda# is, zodat \[\vec{0}=\lambda\cdot\vec{v}+\left(1-\lambda\right)\cdot\vec{w}\tiny.\]Als #\lambda\ne0#, dan volgt na herschrijving #\vec{v} = \frac{\lambda-1}{\lambda}\cdot \vec{w}#. Als #\lambda\ne1#, dan volgt na herschrijving #\vec{w} = \frac{\lambda}{\lambda-1}\cdot \vec{v}#. Omdat altijd (minstens) één van tweeën, #\lambda\ne0# of #\lambda\ne1# geldt, zien we dat steeds een van de twee vectoren #\vec{v}#, #\vec{w}# een scalair veelvoud van de andere is.

Hiermee is de stelling bewezen.