Het begrip basis

Vectorrekening in vlak en ruimte: Bases en coördinaten

Het begrip basis

Om concrete berekeningen te kunnen uitvoeren is het handig om vectoren met behulp van getallen te beschrijven. De begrippen die we daarvoor nodig hebben zijn basis en coördinaat.

Basis van vlak en ruimte

Een basis (meervoud: bases) van het vlak bestaat uit twee vectoren #\vec{e}_1# en #\vec{e}_2# die niet samen met #\vec{0}# op een lijn liggen. Elke vector #\vec{v}# uit het vlak is nu op unieke wijze te schrijven als lineaire combinatie van de vectoren #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2#:
\[
\vec{v}= v_1 \cdot \vec{e}_1 + v_2 \cdot \vec{e}_2
\]
voor zekere getallen #v_1# en #v_2# die uniek zijn voor #\vec{v}#. De getallen #v_1#, #v_2# heten de coördinaten van de vector #\vec{v}# ten opzichte van de basis.
Een basis van de ruimte bestaat uit drie vectoren #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2#, #\vec{e}_3# die niet samen met #\vec{0}# in een vlak liggen. Elke vector #\vec{v}# kunnen we dan schrijven als lineaire combinatie van deze drie vectoren:
\[
\vec{v} = v_1 \cdot\vec{e}_1 + v_2 \cdot\vec{e}_2 + v_3 \cdot\vec{e}_3
\]
waarin de scalairen #v_1#, #v_2# en #v_3# eenduidig bepaald zijn. De vectoren #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2#, #\vec{e}_3# vormen een basis van de ruimte en de getallen #v_1#, #v_2#, #v_3# heten de coördinaten van de vector #\vec{v}# ten opzichte van de basis.
De vectoren #\vec{e}_1=\rv{1,0}# en #\vec{e}_2=\rv{0,1}# vormen een basis van #\mathbb{R}^2#, die we de standaardbasis van #\mathbb{R}^2# noemen.
De vectoren #\vec{e}_1=\rv{1,0,0}#, #\vec{e}_2=\rv{0,1,0}# en #\vec{e}_3=\rv{0,0,1}# vormen een basis van #\mathbb{R}^3#, die we de standaardbasis van #\mathbb{R}^3# noemen.

De coördinaten in het vlak #\mathbb{R}^2# en in de ruimte #\mathbb{R}^3#, die eerder gedefinieerd zijn, zijn de coördinaten zoals hier gedefinieerd voor de standaardbasis:\[\rv{v_1,v_2}=v_1\cdot\rv{1,0}+v_2\cdot\rv{0,1}=v_1\cdot\vec{e}_1+v_2\cdot\vec{e}_2\] voor #\mathbb{R}^2# en net zo, maar dan met een extra term #v_3\cdot\vec{e}_3#, voor #\rv{v_1,v_2,v_3}# in #\mathbb{R}^3#.

We gaan na waarom de coördinaten eenduidig bepaald zijn door een basis van het vlak: stel #v_1\cdot \vec{e}_1+v_2\cdot\vec{e}_2=w_1\cdot\vec{e}_1+w_2\cdot\vec{e}_2#. Dan volgt, na aftrekking van #v_2\vec{e}_2-w_1\cdot\vec{e}_1# aan beide zijden:\[\left(v_1-w_1\right)\cdot \vec{e}_1 = \left(w_2-v_2\right)\cdot \vec{e}_2\]Omdat #\vec{e}_1# en #\vec{e}_2# niet samen met #\vec{0}# op een lijn liggen, concluderen met het criterium voor twee vectoren op lijn door oorsprong dat #v_1-w_1=0# en #w_2-v_2=0#, oftwel #v_1=w_1# en #v_2=w_2#. Dit laat zien dat de coördinaten #v_1# en #v_2# uniek zijn.

Het geval van de ruimte gaat net zo: stel \[v_1\cdot \vec{e}_1+v_2\cdot\vec{e}_2+v_3\cdot\vec{e}_3=w_1\cdot\vec{e}_1+w_2\cdot\vec{e}_2+w_3\cdot\vec{e}_3\] Dit kan herschreven worden tot \[\left(v_1-w_1\right)\cdot \vec{e}_1 + \left(v_2-w_2\right)\cdot \vec{e}_2+ \left(v_3-w_3\right)\cdot\vec{e}_3=0\]Als #v_1-w_1\ne0#, dan staat hier na vermenigvuldiging aan beide zijn met de scalair #\frac{1}{v_1-w_1}#, dat #\vec{e}_1# een lineaire combinatie is van #\vec{e}_2# en #\vec{e}_3#; dit betekent dat #\vec{e}_1# in het vlak ligt door #\vec{0}#, #\vec{e}_2# en #\vec{e}_3#, een tegenspraak met de aanname. Er moet dus gelden: #v_1=w_1#. Met dezelfde redenering voor de indices #2# en #3# in plaats van #1# is af te leiden dat #v_2=w_2# en #v_3=w_3#. Dit laat zien dat de coördinaten #v_1#, #v_2# en #v_3# uniek zijn.

OrthormaliteitLater zullen we naast lengte ook hoeken en loodrechtheid van vectoren bespreken. Vectoren in een basis hoeven geen lengte #1# te hebben en hoeven niet loodrecht op elkaar te staan. Als wel aan deze eisen voldaan is, dan heet de basis orthonormaal.

We bespreken nog hoe je een basis kunt herkennen.

Twee kenmerken van een basis

We leggen een oorsprong van het vlak en van de ruimte vast.

Twee vectoren in het vlak, respectievelijk drie vectoren in de ruimte, vormen dan en slechts dan een basis als elke vector van het vlak, respectievelijk de ruimte, er een lineaire combinatie van is.
Twee vectoren in het vlak, respectievelijk drie vectoren in de ruimte, vormen dan en slechts dan een basis als de enige manier om de oorsprong als lineaire combinatie van deze vectoren te schrijven degene is met alle scalairen gelijk aan #0#.

We geven het bewijs alleen voor het geval van de ruimte. Het bewijs voor het vlak gaat net zo. Met #\vec{0}# geven we de oorsprong aan.

1. Laat #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2#, #\vec{e}_3# een basis van de ruimte zijn en #\vec{v}# een willekeurige vector. We laten zien dat #\vec{v}# een lineaire combinatie van de basisvectoren is. Daartoe bekijken we de lijn # \ell# met parametervoorstelling #\vec{v}+\lambda\cdot \vec{e}_1# en het vlak #V# door de drie vectoren #\vec{0}#, #\vec{e}_2#, #\vec{e}_3#. Het vlak #V# heeft parametervoorstelling \[\mu\cdot\vec{e}_2+\nu\cdot\vec{e}_3\]

De lijn #\ell# is niet parallel aan #V#, want de richtingsvector #\vec{e}_1# van #\ell# is geen richtingsvector van #V#: als dit wel het geval was, dan zou #\vec{e}_1# namelijk een lineaire combinatie van de richtingsvectoren #\vec{e}_2# en #\vec{e}_3# van #V# zijn, wat tegenspreekt dat de basisvectoren niet samen met #\vec{0}# in een vlak liggen.

Er is dus een snijpunt van de lijn #\ell# met het vlak #V#. In termen van de parametervoorstellingen van #\ell# en #V# betekent dit dat er getallen #\lambda#, #\mu# en #\nu# zijn, zodat\[\vec{v}+\lambda\cdot \vec{e}_1=\mu\cdot \vec{e}_2+\nu\cdot\vec{e}_3\]Trekken we de term #\lambda\cdot \vec{e}_1# aan beide zijden van deze gelijkheid af, dan vinden we dat #\vec{v}# een lineaire combinatie is van #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2# en #\vec{e}_3#.

Om de omgekeerde implicatie te bewijzen, nemen we aan dat #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2#, #\vec{e}_3# geen basis van de ruimte is, en leiden we af dat niet elk vector een lineaire combinatie van deze drie vectoren is. Omdat de drie vectoren geen basis vormen, liggen ze tezamen met #\vec{0}# in een vlak #U#. Dit betekent dat een van de drie, zeg #\vec{e}_1#, een lineaire combinatie van #\vec{e}_2# en #\vec{e}_2# is: er zijn scalairen #\lambda# en #\mu#, zodat \[\vec{e}_1=\lambda \cdot \vec{e}_2 + \mu\cdot \vec{e}_3\]Maar dan is elke lineaire combinatie van #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2 # en #\vec{e}_3# een vector die in het vlak #U# ligt: \[v_1\cdot \vec{e}_1+v_2\cdot \vec{e}_2 + v_3\cdot \vec{e}_3=\left( v_1\lambda+v_2\right)\vec{e}_2+\left(v_1\mu+v_3\right)\vec{e}_3\]In het bijzonder is een vector die niet in het vlak #U# ligt geen lineaire combinatie van #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2 # en #\vec{e}_3#. Het is dus niet waar dat elke vector een lineaire combinatie van #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2 # en #\vec{e}_3# is. Hiermee is de omgekeerde implicatie uit het ongerijmde bewezen.

2. Als #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2#, #\vec{e}_3# een basis van de ruimte is, dan zijn de scalairen #v_1#, #v_2#, #v_3# in schrijfwijze \[\vec{0}= v_1 \cdot\vec{e}_1 + v_2 \cdot\vec{e}_2 + v_3 \cdot\vec{e}_3\]eenduidig bepaald, en dus gelijk aan #0#. Dit bewijst dat de enige manier om #\vec{0}# als lineaire combinatie van de vectoren #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2#, #\vec{e}_3# te schrijven degene is met alle scalairen gelijk aan #0#.

We nemen nu aan dat de enige manier om #\vec{0}# als lineaire combinatie van #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2#, #\vec{e}_3# te schrijven degene is met alle scalairen gelijk aan #0#. We willen daaruit afleiden dat #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2#, #\vec{e}_3# een basis is. Stel van niet. Dan liggen deze drie vectoren samen in een vlak met #\vec{0}#. De vectoren #\vec{e}_2# en #\vec{e}_3# liggen niet samen met #\vec{0}# op een lijn, want anders zouden er scalairen #u_2# en #u_3# zijn, niet beide gelijk aan #0#, met #u_2\cdot\vec{e}_2=u_3\cdot\vec{e}_3#. Dit betekent dat #\vec{0}=u_2\cdot\vec{e}_2-u_3\cdot\vec{e}_3#, een lineaire combinatie van #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2#, #\vec{e}_3# met ten minste één scalar ongelijk aan #0#, in tegenspraak met de aanname. We concluderen dat #\vec{0}#, #\vec{e}_2# en #\vec{e}_3# in één vlak liggen. Noem dit vlak #U#. Het heeft parametervoorstelling\[\lambda \cdot\vec{e}_2+\mu\cdot\vec{e}_3\] Maar de drie vectoren, dus ook #\vec{e}_1#, liggen samen in een vlak met #\vec{0}#. Dit vlak moet dus gelijk zijn aan #U#, zodat er getallen #\lambda# en #\mu# moeten zijn zodat\[\vec{e}_1=\lambda \cdot\vec{e}_2+\mu\cdot\vec{e}_3\] Dit betekent dat #\vec{0}# te schrijven is als\[\vec{0}=\vec{e}_1-\lambda \cdot\vec{e}_2-\mu\cdot\vec{e}_3\]een tegenspraak met de aanname. De drie vectoren #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2#, #\vec{e}_3# moeten dus wel een basis zijn.

Hiermee is de stelling bewezen.

Vormen #\left[ -9 , 9 \right]# en #\left[ 3 , -3 \right]# een basis van #\mathbb{R}^2#?

Nee

Om dit vast te stellen, gebruiken we het tweede kenmerk van een basis. Stel er zijn twee scalairen #\lambda# en #\mu#, zodat #\vec{0}=\lambda\cdot \left[ -9 , 9 \right]+\mu\cdot \left[ 3 , -3 \right]#. Dan voldoen #\lambda# en #\mu# aan het stelsel lineaire vergelijkingen \[\eqs{ 3\cdot \mu-9\cdot \lambda&=&0\cr 9\cdot \lambda-3\cdot \mu&=&0}\] dat als oplossingen heeft: #\lambda= {{1}\over{3}} \mu#. In het bijzonder is #\lambda= 3\land \mu=9# een oplossing.

Dit laat zien dat #\vec{0}# geschreven kan worden als de lineaire combinatie \[ \lambda \cdot \left[ -9 , 9 \right]+\mu\cdot \left[ 3 , -3 \right]\] waarbij #\lambda= 3\land \mu=9# scalairen zijn die niet beide gelijk aan #0# zijn. Het tweede kenmerk van een basis geeft dat #\left[ -9 , 9 \right]# en #\left[ 3 , -3 \right]# geen basis vormen.

Ook het eerste kenmerk van een basis kan gebruikt worden om dit af te leiden. Als #\vec{v}=\rv{v_1,v_2}# een lineaire combinatie #\vec{v}=\lambda\cdot{ \left[ -9 , 9 \right]}+\mu\cdot {\left[ 3 , -3 \right]}# van #\left[ -9 , 9 \right]# en #\left[ 3 , -3 \right]# is met scalairen #\lambda # en #\mu#, dan voldoen die scalairen aan het stelsel lineaire vergelijkingen \[\eqs{ 3\cdot \mu-9\cdot \lambda&=&v_1\cr 9\cdot \lambda-3\cdot \mu&=&v_2 }\]Dit laat zien dat de vector #\vec{v}=\rv{1,0} # niet als lineaire combinatie van #\left[ -9 , 9 \right]# en #\left[ 3 , -3 \right]# te schrijven is. Het eerste kenmerk van een basis geeft dat #\left[ -9 , 9 \right]# en #\left[ 3 , -3 \right]# geen basis vormen.

Nieuw voorbeeld