Coördinaatruimten

Vectorrekening in vlak en ruimte: Bases en coördinaten

Coördinaatruimten

We hebben vectoren in het vlak en in de ruimte behandeld als vectoren in de coördinaatruimten $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^3$ . Op de keuze van een oorsprong en een basis na, komen de begrippen van vector in vlak en ruimte op hetzelfde neer als in de coördinaatruimten.

Coördinatisering van de ruimte

Kies een oorsprong $\vec{0}$ en een basis $\vec{e}_1$ , $\vec{e}_2$ , $\vec{e}_3$ van de ruimte. Dan correspondeert elke vector $\vec{v}=v_1\cdot \vec{e}_1+v_2\cdot\vec{e}_2+v_3\cdot\vec{e}_3$ van de ruimte met een unieke coördinaatvector $\rv{v_1,v_2,v_3}$ in $\mathbb{R}^3$ . In formulevorm:

$v_1\cdot \vec{e}_1+v_2\cdot\vec{e}_2+v_3\cdot\vec{e}_3 \quad \leftrightarrow\quad \rv{v_1,v_2,v_3}$

Hierbij gelden de volgende regels.

De oorsprong $\vec{0}$ correspondeert met $\rv{0,0,0}$ in $\mathbb{R}^3$ .
De basis $\vec{e}_1$ , $\vec{e}_2$ , $\vec{e}_3$ van de ruimte correspondeert met de standaardbasis $\rv{1,0,0}$ , $\rv{0,1,0}$ , $\rv{0,0,1}$ van $\mathbb{R}^3$ .
De optelling van $\vec{w}=w_1\cdot \vec{e}_1+w_2\cdot\vec{e}_2+w_3\cdot\vec{e}_3$ in de ruimte is gekoppeld aan de optelling in $\mathbb{R}^3$ door $\vec{v}+\vec{w} \leftrightarrow \rv{v_1+w_1 , v_2 + w_2 , v_3 + w_3}$ .
De scalaire vermenigvuldiging met $\lambda$ in de ruimte is gekoppeld aan de scaliare vermenigvuldiging in $\mathbb{R}^3$ door $\lambda \cdot \vec{v} \leftrightarrow \rv{\lambda \cdot v_1, \lambda \cdot v_2 , \lambda \cdot v_3}$ .

De verzameling van alle coördinaatvectoren noemen we de coördinaatruimte, en noteren we met $\mathbb{R}^3$ .

De coördinaatvector bestaat dus uit de coördinaten van $\vec{v}$ ten opzichte van de gegeven basis. De vertaling naar coördinaten hangt af van de keuze van oorsprong en basis.

We leiden elk van de vier uitspraken afzonderlijk af.

De oorsprong $\vec{0}$ in de ruimte is de lineaire combinatie $\vec{0} = 0\cdot \vec{e}_1+0\cdot\vec{e}_2+0\cdot\vec{e}_3$ en correspondeert dus met $\rv{0,0,0}$ .
De basisvector $\vec{e}_1$ in de ruimte is de lineaire combinatie $\vec{e}_1 = 1\cdot \vec{e}_1+0\cdot\vec{e}_2+0\cdot\vec{e}_3$ en correspondeert dus met $\rv{1,0,0}$ . Voor $\vec{e}_2$ en $\vec{e}_3$ geldt iets soortgelijks.
Voor de optelling van $\vec{v}$ en $\vec{w}$ geldt $\begin{array}{rcl}\vec{v}+\vec{w}&=&v_1\cdot \vec{e}_1+v_2\cdot\vec{e}_2+v_3\cdot\vec{e}_3+w_1\cdot \vec{e}_1+w_2\cdot\vec{e}_2+w_3\cdot\vec{e}_3\\&=&\left(v_1+w_1\right)\cdot \vec{e}_1+\left(v_2+w_2\right)\cdot\vec{e}_2+\left(v_3+w_3\right)\cdot\vec{e}_3\\ \end{array}$ De coördinaatvector in $\mathbb{R}^3$ die met $\vec{v}+\vec{w}$ correspondeert, is dus gelijk aan $\rv{v_1+w_1,v_2+w_2,v_3+w_3}$ .
Voor de scalaire vermenigvuldiging van $\lambda$ met $\vec{v}$ geldt $\begin{array}{rcl}\lambda\cdot\vec{v}&=&\lambda\cdot \left(v_1\cdot\vec{e}_1+v_2\cdot\vec{e}_2+v_3\cdot\vec{e}_3\right)\\&=&\left(\lambda\cdot v_1\right)\cdot \vec{e}_1+\left(\lambda\cdot v_2\right)\cdot\vec{e}_2+\left(\lambda\cdot v_3\right)\cdot\vec{e}_3\\ \end{array}$ De coördinaatvector in $\mathbb{R}^3$ die met $\lambda\cdot\vec{v}$ correspondeert, is dus gelijk aan $\rv{\lambda\cdot v_1,\lambda\cdot v_2,\lambda\cdot v_3}$ .

Vlak

Op soortgelijke wijze kan $\mathbb{R}^2$ de rol van coördinaatvlak van het Euclidische vlak spelen. Het coördinaatvlak $\mathbb{R}^2$ en de coördinaatruimte $\mathbb{R}^3$ zijn voornamelijk bedoeld om expliciet met getallen te kunnen rekenen.

Correspondentie

We spreken rustig van de rechte in $\mathbb{R}^2$ of $\mathbb{R}^3$ , van vectoren in $\mathbb{R}^2$ of $\mathbb{R}^3$ , het vlak $\mathbb{R}^2$ , de ruimte $\mathbb{R}^3$ , een parametervoorstelling van een rechte in $\mathbb{R}^2$ , enzovoort. We zullen zelfs wel schrijven $\vec{a} = \rv{a_1 , a_2, a_3}$ als $\rv{a_1 , a_2, a_3}$ de coördinaatvector is van $\vec{a}$ ten opzichte van een bekende oorsprong en basis.

Hogere dimensies

Het gebruik van $\mathbb{R}^n$ voor de beschrijving van de $n$ -dimensionale ruimte gaat door voor dimensies $n\gt 3$ . We identificeren de coördinaatruimte $\mathbb{R}^n$ met de $n$ -dimensionale ruimte $\mathbb{E}^n$ na selectie van een oorsprong en basis in die ruimte. Hoewel meetkundige objecten zoals punten, lijnen, vectoren en vlakken strikt genomen tot de (Euclidische) ruimte $\mathbb{E}^n$ behoren, mogen we deze objecten daarom ook zien als objecten van de coördinaatruimte $\mathbb{R}^n$ .

Later zullen we zien dat ruimte en coördinaatruimte speciale gevallen zijn van het begrip vectorruimte.

Als we de ruimte geïdentificeerd hebben met $\mathbb{R}^3$ en een nieuwe oorsprong en basis aangeven, dan kunnen we de nieuwe coördinaten uitdrukken in de oude. We geven hiervan een voorbeeld aan de hand van een verplaatsing van de oorsprong.

Verplaatsing van de oorsprong in de coördinaatruimte

Laat $\vec{v}$ een vector in de coördinaatruimte $\mathbb{R}^3$ zijn. Als we in $\mathbb{R}^3$ de oorsprong en de standaardbasis verplaatsen over de vector $\vec{v}$ (dat wil zeggen: er $\vec{v}$ bij optellen), dan wordt de coördinaatvector van een vector $\vec{w}$ ten opzichte van de verschoven basis gelijk aan $\vec{w}-\vec{v}$ .

De vector $\vec{w}$ vertegenwoordigt het eindpunt van de representant van de vector $\vec{w}$ waarvan het beginpunt in $\vec{0}$ ligt. Dit punt valt samen met het eindpunt van de representant van $\vec{w}-\vec{v}$ waarvan het beginpunt in $\vec{v}$ ligt. Als we de oorsprong $\vec{v}$ kiezen, dan is $\vec{w}-\vec{v}$ dus de vector waarvan de representant met beginpunt de nieuwe oorsprong, als eindpunt het oorspronkelijk met $\vec{w}$ aangegeven punt van de ruimte weergeeft.

Na verplaatsing over $\vec{v}$ zal de nieuwe oorsprong in $\vec{v}$ liggen en zal de nieuwe basis $\vec{e}_1+\vec{v}$ , $\vec{e}_2+\vec{v}$ , $\vec{e}_3+\vec{v}$ zijn, waarbij $\vec{e}_1$ , $\vec{e}_2$ , $\vec{e}_3$ de standaardbasis van $\mathbb{R}^3$ is. Zoals we hierboven zagen, is $\vec{e}_1=\left(\vec{v}+\vec{e}_1\right)-\vec{v}$ de vector die, als ze neergezet wordt met beginpunt $\vec{v}$ , als eindpunt $\vec{v}+\vec{e}_1$ heeft. Ten opzichte van de nieuwe oorsprong, correspondeert $\vec{e}_1$ dus weer met een vector van de standaardbasis; dit geldt evenzo voor $\vec{e}_2$ en $\vec{e}_3$ .

Ten opzichte van deze nieuwe basis zullen de coördinaten van het punt $\vec{w}=\rv{w_1,w_2,w_3}$ , zoals we hierboven zagen, vertegenwoordigd worden door de vector $\vec{w}-\vec{v}$ . Dit is ook de coördinaatvector van $\vec{w}$ ten opzichte van de standaardbasis:

$\begin{array}{rcl}\vec{w}-\vec{v}&=&\rv{w_1-v_1,w_2-v_2,w_3-v_3}\\ &=&\left(w_1-v_1\right)\vec{e}_1+\left(w_2-v_2\right)\vec{e}_2+\left(w_3-v_3\right)\vec{e}_3\end{array}$

Bepaal de coördinaten van de vector $\left[ 3 , 6 , 5 \right]$ ten opzichte van de basis $\left[ 5 , -5 , 6 \right]$ , $\left[ 5 , -5 , 5 \right]$ en $\left[ 1 , 0 , 0 \right]$ van $\mathbb{R}^3$ .

Geef je antwoord in de vorm $\rv{v_1,v_2,v_3}$ , waarbij $v_1$ , $v_2$ en $v_3$ gehele getallen zijn.

$\left[ 11 , -{{61}\over{5}} , 9 \right]$

De coördinaten die we moeten vinden, zijn het drietal $\rv{v_1,v_2,v_3}$ , zodat

$\left[ 3 , 6 , 5 \right]= v_1\cdot \left[ 5 , -5 , 6 \right] + v_2\cdot \left[ 5 , -5 , 5 \right]+v_3\cdot \left[ 1 , 0 , 0 \right]$ We lossen daarom het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met onbekenden $v_1$ , $v_2$ en $v_3$ op:

$\eqs{ v_{3}+5\cdot v_{2}+5\cdot v_{1}&=&3\cr -5\cdot v_{2}-5\cdot v_{1}&=&6\cr 5\cdot v_{2}+6\cdot v_{1}&=&5\cr }$ De enige oplossing hiervan is $v_{1}=11 \land v_{2}=-{{61}\over{5}} \land v_{3}=9$ . Dit laat zien dat de coördinaten van $\left[ 3 , 6 , 5 \right]$ ten opzichte van de gegeven basis gelijk zijn aan

$\left[ 11 , -{{61}\over{5}} , 9 \right]$

Nieuw voorbeeld