We hebben vectoren in het vlak en in de ruimte behandeld als vectoren in de coördinaatruimten en . Op de keuze van een oorsprong en een basis na, komen de begrippen van vector in vlak en ruimte op hetzelfde neer als in de coördinaatruimten.
Kies een oorsprong en een basis , , van de ruimte. Dan correspondeert elke vector van de ruimte met een unieke coördinaatvector in . In formulevorm:
Hierbij gelden de volgende regels.
- De oorsprong correspondeert met in .
- De basis , , van de ruimte correspondeert met de standaardbasis , , van .
- De optelling van in de ruimte is gekoppeld aan de optelling in door .
- De scalaire vermenigvuldiging met in de ruimte is gekoppeld aan de scaliare vermenigvuldiging in door .
De verzameling van alle coördinaatvectoren noemen we de coördinaatruimte, en noteren we met .
De coördinaatvector bestaat dus uit de coördinaten van ten opzichte van de gegeven basis. De vertaling naar coördinaten hangt af van de keuze van oorsprong en basis.
We leiden elk van de vier uitspraken afzonderlijk af.
- De oorsprong in de ruimte is de lineaire combinatie en correspondeert dus met .
- De basisvector in de ruimte is de lineaire combinatie en correspondeert dus met . Voor en geldt iets soortgelijks.
- Voor de optelling van en geldtDe coördinaatvector in die met correspondeert, is dus gelijk aan .
- Voor de scalaire vermenigvuldiging van met geldtDe coördinaatvector in die met correspondeert, is dus gelijk aan .
Op soortgelijke wijze kan de rol van coördinaatvlak van het Euclidische vlak spelen. Het coördinaatvlak en de coördinaatruimte zijn voornamelijk bedoeld om expliciet met getallen te kunnen rekenen.
We spreken rustig van de rechte in of , van vectoren in of , het vlak , de ruimte , een parametervoorstelling van een rechte in , enzovoort. We zullen zelfs wel schrijven als de coördinaatvector is van ten opzichte van een bekende oorsprong en basis.
Het gebruik van voor de beschrijving van de -dimensionale ruimte gaat door voor dimensies . We identificeren de coördinaatruimte met de -dimensionale ruimte na selectie van een oorsprong en basis in die ruimte. Hoewel meetkundige objecten zoals punten, lijnen, vectoren en vlakken strikt genomen tot de (Euclidische) ruimte behoren, mogen we deze objecten daarom ook zien als objecten van de coördinaatruimte .
Later zullen we zien dat ruimte en coördinaatruimte speciale gevallen zijn van het begrip vectorruimte.
Als we de ruimte geïdentificeerd hebben met en een nieuwe oorsprong en basis aangeven, dan kunnen we de nieuwe coördinaten uitdrukken in de oude. We geven hiervan een voorbeeld aan de hand van een verplaatsing van de oorsprong.
Laat een vector in de coördinaatruimte zijn. Als we in de oorsprong en de standaardbasis verplaatsen over de vector (dat wil zeggen: er bij optellen), dan wordt de coördinaatvector van een vector ten opzichte van de verschoven basis gelijk aan .
De vector vertegenwoordigt het eindpunt van de representant van de vector waarvan het beginpunt in ligt. Dit punt valt samen met het eindpunt van de representant van waarvan het beginpunt in ligt. Als we de oorsprong kiezen, dan is dus de vector waarvan de representant met beginpunt de nieuwe oorsprong, als eindpunt het oorspronkelijk met aangegeven punt van de ruimte weergeeft.
Na verplaatsing over zal de nieuwe oorsprong in liggen en zal de nieuwe basis , , zijn, waarbij , , de standaardbasis van is. Zoals we hierboven zagen, is de vector die, als ze neergezet wordt met beginpunt , als eindpunt heeft. Ten opzichte van de nieuwe oorsprong, correspondeert dus weer met een vector van de standaardbasis; dit geldt evenzo voor en .
Ten opzichte van deze nieuwe basis zullen de coördinaten van het punt , zoals we hierboven zagen, vertegenwoordigd worden door de vector . Dit is ook de coördinaatvector van ten opzichte van de standaardbasis:
Bepaal de coördinaten van de vector ten opzichte van de basis , en van .
Geef je antwoord in de vorm , waarbij , en gehele getallen zijn.
De coördinaten die we moeten vinden, zijn het drietal , zodat We lossen daarom het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met onbekenden , en op: De enige oplossing hiervan is . Dit laat zien dat de coördinaten van ten opzichte van de gegeven basis gelijk zijn aan