Afstand

Vectorrekening in vlak en ruimte: Afstanden, hoeken en inproduct

Afstand

De begrippen afstand, lengte en hoek kunnen uitgedrukt worden in eenvoudige formules met behulp van het begrip inproduct. We werken in het vlak of de ruimte met een vaste oorsprong. De lengte van een vector $\vec{x}$ is al ingevoerd; het is de afstand van de oorsprong tot het eindpunt van de representant van $\vec{x}$ die geplaatst is in de oorsprong.

Afstand in termen van vectorlengte

De lengte of norm van een vector $\vec{v}$ geven we aan met $\parallel \vec{v}\parallel$ .

De afstand tussen twee vectoren $\vec{u}$ en $\vec{v}$ is de lengte van de verschilvector $\vec{u}-\vec{v}$ , dus $\parallel \vec{u}-\vec{v}\parallel$ .

De afstand tussen twee punten $A$ en $B$ in de ruimte is de lengte van de vector $\vec{AB}$ en komt overeen met de afstand tussen de vectoren $\vec{OA}$ en $\vec{OB}$ , waarbij $O$ de oorsprong is.

De loodrechte projectie van een punt op een lijn levert een punt op de lijn op kortste afstand van het gegeven punt. Dit feit is eerder behandeld in twee dimensies, maar geldt ook in de ruimte. Voor een vlak in plaats van een lijn geldt iets overeenkomstigs.

Loodrechte projectie van een punt op een lijn of vlak

Laat $U$ een lijn of een vlak in de ruimte zijn en $P$ een punt. Er is een uniek punt $Q$ op $U$ dat de kortste afstand van alle punten op $U$ tot $P$ heeft. Dit punt wordt gekenmerkt door de eigenschap dat de vector $\vec{PQ}$ loodrecht op de richtingsvector(en) van $U$ staat.

Het punt $Q$ heet de loodrechte projectie van $P$ op $U$ .

We geven het bewijs voor het geval $U$ een lijn is. Laat $V$ het vlak door $P$ loodrecht op (een richtingsvector van) $U$ zijn. Dan snijdt $V$ de lijn $U$ in een uniek punt $Q$ . De vector $\vec{PQ}$ ligt in $V$ en staat dus loodrecht op $U$ . Als $A$ een punt van $U$ is dat van $Q$ verschilt, dan vormt $\triangle APQ$ een driehoek met rechte hoek $Q$ . We kunnen de stelling van Pythagoras dus toepassen:

$\left|AQ\right|=\sqrt{\left|AQ\right|^2+\left|PQ\right|^2}\geq\sqrt{\left|PQ\right|^2}=\left|PQ\right|\tiny.$ De ongelijkheid laat zien dat de afstand $\left|AQ\right|$ ten minste $\left|PQ\right|$ is, en dat gelijkheid alleen geldt als $\left|AQ\right|=0$ , dat wil zeggen: als $A=Q$ . Hiermee is de stelling bewezen als $U$ een lijn is.

Het bewijs voor het geval dat $U$ een vlak is, is nauwelijks anders en wordt daarom niet uitgebreid beschreven. De grootste afwijking is dat $V$ de lijn door $P$ is die loodrecht op $U$ staat; voor de rest kan het bovenstaande bewijs bijna letterlijk overgenomen worden.

Wat is de afstand in $\mathbb{R}^3$ tussen de punten $P=\rv{4,1,1}$ en $Q=\rv{6,2,-7}$ ?

$\sqrt{69}$

Dit berekenen we als volgt:

$\begin{array}{rcl}\parallel P-Q\parallel &=& \parallel\,\rv{4-6,1-2,1+7}\,\parallel\\&=& \parallel\,\rv{-2,-1,8}\,\parallel\\ &=&\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-1\right)^2+\left(8\right)^2}\\ &=& \sqrt{69}\\ \end{array}$

Nieuw voorbeeld