De volgende eigenschappen van het inproduct maken het berekenen ervan gemakkelijk en spelen een rol bij de expliciete formules die we later zullen afleiden als we met coördinaten rekenen.
Laat , en vectoren en en scalairen zijn.
- Het inproduct van een vector met zichzelf is het kwadraat van de lengte, ofwel .
- Het inproduct is niet-negatief voor elke vector en is alleen gelijk aan als .
- Symmetrie: .
- Gemengde associativiteit ten opzichte van scalaire vermenigvuldiging:
- Additiviteit in elk argument:
- Het inproduct is precies dan gelijk aan als en loodrecht op elkaar staan (men zegt ook wel: orthogonaal zijn).
Laat de hoek tussen en zijn.
1. Nemen we voor ook , dan is de onderlinge hoek , met als gevolg dat de cosinus gelijk aan is, zodat . Dus Merk op dat het inproduct sowieso gelijk aan is als een van beide vectoren de nulvector is. De nulvector staat loodrecht op elke vector (de nulvector heeft geen richting, maar dit is een handige afspraak).
2. Het inproduct is vanwege 1. het kwadraat van de lengte van de vector en dus niet-negatief. Als dit inproduct gelijk is aan , dan is een vector met lengte , en moet daarom wel de nulvector zijn.
3. De hoek tussen en is , dus geldt
4. Als dan zijn alle onderdelen gelijk aan en zijn we klaar met het bewijs. Veronderstel daarom dat niet gelijk aan is. De hoek tussen en is gelijk aan als en gelijk aan als . Bijgevolg isals en als .
We concluderen dat, in alle gevallen geldt. De andere gelijkheid kan net zo bewezen worden.
5. We concentreren ons eerst op de eerste van de twee gelijkheden: . Als , dan is de gelijkheid waar omdat alle termen gelijk zijn aan . Daarom mogen we veronderstellen dat dit niet zo is, zodat en er een unieke lijn door de oorsprong en gaat. Noem die lijn .
Het is voldoende de gelijkheid te bewijzen voor het geval dat . Want het algemene geval volgt dan uit de voorgaande regel met :Merk op dat , zodat in bovenstaande inderdaad alleen het speciale geval van een vector met lengte gebruikt is.
Het is dus voldoende de eerste gelijkheid te bewijzen als . In dit geval is voor elke vector , vanwege Het inproduct in termen van lengtes, de projectie van op . Laat het eindpunt van zijn, het eindpunt van , en het eindpunt van , alledrie geplaatst in de oorsprong. Geef met , en de projectie van respectievelijk , en op aan. Dan is , en . De gelijkheid die we willen bewijzen volgt dus als we kunnen laten zien dat . Zie onderstaande figuur.

We passen nogmaals Het inproduct in termen van lengtes toe, maar nu op de vector en de lijn die bestaat uit alle scalaire veelvouden van . Dan is de projectie van de vector , geplaatst in , op , zodat . Optellen van aan beide zijden geeft , wat de gevraagde gelijkheid bewijst.
De tweede gelijkheid volgt uit de eerste door toepassing van de derde regel:
6. Als , dan geldt , dus zijn er drie gevallen die we onderscheiden:
- : dit betekent dat , in welk geval per definitie loodrecht op staat;
- : dit betekent dat , in welk geval per definitie loodrecht op staat;
- : dit betekent dat , dat wil zeggen: staat loodrecht op .
De andere implicatie (als en onderling loodrecht zijn, dan geldt ) is te bewijzen door bovenstaande redeneringen om te draaien.
Veronderstel dat .
Bereken het inproduct .