1. Nemen we voor #\vec{v}# ook #\vec{u}#, dan is de onderlinge hoek #0^\circ#, met als gevolg dat de cosinus gelijk aan #1# is, zodat #\vec{u}\cdot \vec{u} = \parallel\vec{u}\parallel^2#. Dus\[\parallel\vec{u}\parallel = \sqrt{\vec{u}\cdot \vec{u}}\tiny.\] Merk op dat het inproduct sowieso gelijk aan #0# is als een van beide vectoren de nulvector is. De nulvector staat loodrecht op elke vector (de nulvector heeft geen richting, maar dit is een handige afspraak).

2. Het inproduct #\vec{u}\cdot \vec{u}# is vanwege 1. het kwadraat van de lengte van de vector #\vec{u}# en dus niet-negatief. Als dit inproduct gelijk is aan #0#, dan is #\vec{u}# een vector met lengte #0#, en moet daarom wel de nulvector zijn.

3. De hoek tussen #\vec{v}# en #\vec{u}# is #-\varphi#, dus geldt\[\vec{v}\cdot\vec{u} = \parallel \vec{v}\parallel\cdot\parallel\vec{u}\parallel\cdot\cos(-\varphi) = \parallel \vec{u}\parallel\cdot\parallel\vec{v}\parallel\cdot\cos(\varphi) = \vec{u}\cdot\vec{v}\]

4. Als #\lambda=0# dan zijn alle onderdelen gelijk aan #0# en zijn we klaar met het bewijs. Veronderstel daarom dat #\lambda# niet gelijk aan #0# is. De hoek tussen #\vec{u}# en #\lambda\cdot\vec{v}# is gelijk aan #\varphi# als #\lambda\gt0# en gelijk aan #180^\circ-\varphi# als #\lambda\lt0#. Bijgevolg is\[\vec{u}\cdot\left(\lambda\cdot\vec{v}\right) = \parallel\vec{u}\parallel\cdot\parallel\lambda\cdot\vec{v}\parallel\cdot\cos(\varphi)=\lambda\cdot\left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right)\]als #\lambda\gt0# en \[\begin{array}{rcl}\vec{u}\cdot\left(\lambda\cdot\vec{v}\right) &=& \parallel\vec{u}\parallel\cdot\parallel\lambda\cdot\vec{v}\parallel\cdot\cos(180^\circ-\varphi)\\ &=&\left|\lambda\right|\cdot\parallel\vec{u}\parallel\cdot\parallel\vec{v}\parallel\cdot\left(-\cos(\varphi)\right)\\ &=&\lambda\cdot\parallel\vec{u}\parallel\cdot\parallel\vec{v}\parallel\cdot\cos(\varphi)\\ &=&\lambda\cdot\left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right)\end{array}\]als #\lambda\lt0#.

We concluderen dat, in alle gevallen #\vec{u}\cdot\left(\lambda\cdot\vec{v}\right) = \lambda\cdot\left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right)# geldt. De andere gelijkheid kan net zo bewezen worden.

5. We concentreren ons eerst op de eerste van de twee gelijkheden: #\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) = (\vec{u}\cdot \vec{v}) + (\vec{u}\cdot \vec{w})#. Als #\vec{u}=\vec{0}#, dan is de gelijkheid waar omdat alle termen gelijk zijn aan #0#. Daarom mogen we veronderstellen dat dit niet zo is, zodat #\parallel\vec{u}\parallel\ne0# en er een unieke lijn door de oorsprong en #\vec{u}# gaat. Noem die lijn #\ell#.

Het is voldoende de gelijkheid te bewijzen voor het geval dat #\parallel\vec{u}\parallel=1#. Want het algemene geval volgt dan uit de voorgaande regel met #\lambda=\parallel\vec{u}\parallel#:\[\begin{array}{rcl}\vec{u}\cdot(\vec{v} + \vec{w}) &=&\lambda\cdot \left(\left(\frac{1}{\lambda}\cdot \vec{u}\right)\cdot(\vec{v} + \vec{w})\right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{gemengde associativiteit}}\\&=&\lambda\cdot\left(\left(\frac{1}{\lambda}\cdot \vec{u}\right)\cdot\vec{v} +\left(\frac{1}{\lambda}\cdot \vec{u}\right)\cdot\vec{w}\right)\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\parallel{\frac{1}{\lambda}}\cdot \vec{u}\parallel = 1}\\&=&\lambda\cdot\left(\left(\frac{1}{\lambda}\cdot \vec{u}\right)\cdot\vec{v}\right) +\lambda\cdot\left(\left(\frac{1}{\lambda}\cdot \vec{u}\right)\cdot\vec{w}\right)\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{distributiviteit voor reële getallen}}\\&=&\left( \vec{u}\cdot\vec{v}\right) +\left(\vec{u}\cdot\vec{w}\right)\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{gemengde associativiteit}}\\ \end{array}\]Merk op dat #\parallel\frac{1}{\lambda}\cdot \vec{u}\parallel = \frac{1}{\lambda}\cdot\parallel\vec{u}\parallel=\frac{1}{\lambda}\cdot\lambda = 1#, zodat in bovenstaande inderdaad alleen het speciale geval van een vector met lengte #1# gebruikt is.

Het is dus voldoende de eerste gelijkheid te bewijzen als #\parallel\vec{u}\parallel=1#. In dit geval is voor elke vector #\vec{y}#, vanwege Het inproduct in termen van lengtes, #(\vec{u}\cdot\vec{y})\cdot \vec{u}# de projectie van #\vec{y}# op #\ell#. Laat #A# het eindpunt van #\vec{v}# zijn, #B# het eindpunt van #\vec{w}#, en #C# het eindpunt van #\vec{v}+\vec{w}#, alledrie geplaatst in de oorsprong. Geef met #P_A#, #P_B# en #P_C# de projectie van respectievelijk #A#, #B# en #C# op #\ell# aan. Dan is #(\vec{u}\cdot\vec{v})\cdot \vec{u}=\vec{OP_A}#, #(\vec{u}\cdot\vec{w})\cdot \vec{u}=\vec{OP_B}# en #\left(\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})\right)\cdot \vec{u}=\vec{OP_C}#. De gelijkheid die we willen bewijzen volgt dus als we kunnen laten zien dat #\vec{OP_A}+\vec{OP_B}=\vec{OP_C}#. Zie onderstaande figuur.

We passen nogmaals Het inproduct in termen van lengtes toe, maar nu op de vector #\vec{v}# en de lijn #\ell# die bestaat uit alle scalaire veelvouden van #\vec{u}#. Dan is #\vec{P_BP_C}# de projectie van de vector #\vec{v}#, geplaatst in #B#, op #\ell#, zodat # \vec{P_BP_C}=\vec{OP_A}#. Optellen van #\vec{OP_B}# aan beide zijden geeft #\vec{OP_C}=\vec{OP_A}+\vec{OP_B}#, wat de gevraagde gelijkheid bewijst.

De tweede gelijkheid volgt uit de eerste door toepassing van de derde regel:\[\begin{array}{rcl}(\vec{v}+\vec{w})\cdot\vec{u} &=&\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{symmetrie}}\\&=&(\vec{u}\cdot \vec{v})+(\vec{u}\cdot \vec{w})\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{de eerste gelijkheid}}\\&=&(\vec{v}\cdot\vec{u})+(\vec{w}\cdot\vec{u})\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{symmetrie}}\end{array}\]

6. Als #\vec{u}\cdot\vec{v}=0#, dan geldt #\parallel \vec{u}\parallel \cdot\parallel \vec{v}\parallel \cdot\cos(\varphi)=0#, dus zijn er drie gevallen die we onderscheiden:

• #\parallel \vec{u}\parallel =0#: dit betekent dat #\vec{u}=0#, in welk geval #\vec{u}# per definitie loodrecht op #\vec{v}# staat;
• #\parallel \vec{v}\parallel =0#: dit betekent dat #\vec{v}=0#, in welk geval #\vec{v}# per definitie loodrecht op #\vec{u}# staat;
• #\cos(\varphi)=0#: dit betekent dat #\varphi=\pm\frac{\pi}{2}#, dat wil zeggen: #\vec{u}# staat loodrecht op #\vec{v}#.

De andere implicatie (als #\vec{u}# en #\vec{v}# onderling loodrecht zijn, dan geldt #\vec{u}\cdot\vec{v}=0#) is te bewijzen door bovenstaande redeneringen om te draaien.