Vectorrekening in vlak en ruimte: Afstanden, hoeken en inproduct
Normaalvectoren
Het inproduct in #\mathbb{R}^3# kan gebruikt worden om een lineaire vergelijking met drie onbekenden te beschrijven.
Normaalvector
Laat #a_1#, #a_2#, #a_3# en #d# reële getallen zijn. Schrijf #\vec{a}=\rv{a_1,a_2,a_3}#. De lineaire vergelijking\[a_1\cdot x_1 + a_2\cdot x_2 + a_3 \cdot x_3 = d \]kan met behulp van het inproduct geschreven worden als \[
\dotprod{\vec{a}}{ \vec{x}}=d
\]waarbij #\vec{x}=\rv{x_1,x_2,x_3}# is. Als #\vec{a}# niet de nulvector is, dan is de oplossingsverzameling van de vergelijking een vlak en noemen we #\vec{a}# een normaalvector van het vlak.
Zijn #\vec{u}=\rv{u_1, u_2, u_3}# en #\vec{v}=\rv{v_1, v_2, v_3}# twee vectoren in het vlak #V# met vergelijking #2x_1 -x_2 + 3x_3 = 6#, dan geldt dus #2u_1 -u_2 + 3u_3 = 6# en #2v_1 -v_2 + 3v_3 = 6#. Aftrekken van deze twee gelijkheden levert
\[
2(u_1 - v_1) -(u_2 -v_2)+3(u_3-v_3) = 0
\]
Deze gelijkheid kunnen we ook als volgt lezen:
\[
\rv{2,-1,3}\cdot \rv{u_1-v_1, u_2-v_2, u_3-v_3}= 0
\]
ofwel, de verschilvector #\vec{u}-\vec{v}# staat loodrecht op de vector #\rv{2,-1,3}#. In het bijzonder is #\rv{2,-1,3}# een vector die loodrecht staat op alle richtingsvectoren van het vlak: een normaalvector van het vlak.
Laat #V# een vlak zijn in #\mathbb{R}^3# en #\vec{a}# een normaalvector van #V#.
- De vector #\vec{a}# is uniek bepaald op een scalair veelvoud na.
- Een vector #\vec{r}# in #\mathbb{R}^3# is dan en slechts dan een richtingsvector van #V# als #\vec{a}\cdot\vec{r}=0#.
Zijn #\vec{u}# en #\vec{v}# twee vectoren in het vlak, dan geldt #\vec{a}\cdot \vec{u} = d# en #\vec{a}\cdot \vec{v} = d#. Aftrekken van deze gelijkheden levert #(\vec{a}\cdot \vec{u}) - (\vec{a}\cdot \vec{v}) = 0# en dus, via de eigenschappen van het inproduct (additiviteit en associativiteit ten opzichte van scalaire vermenigvuldiging):\[\vec{a}\cdot( \vec{u}-\vec{v})=0\]Met andere woorden: de verschilvector #\vec{u}-\vec{v}# staat loodrecht op #\vec{a}#. In het bijzonder staan richtingsvectoren van het vlak #V# loodrecht op de normaalvector #\vec{a}#.
Voor rechten in het vlak geldt iets soortgelijks: is #a_1\cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 = d# de vergelijking van een rechte, dan is #\rv{a_1, a_2}# een normaalvector van de rechte. De vector staat loodrecht op elke richtingsvector van de rechte.
Om dit in te zien, zoeken we een lineaire vergelijking waar #V# de oplossingsverzameling van is. Dit doen we door drie punten van #V# te kiezen die niet door één lijn gaan en die in te vullen in de algemene vorm van de vergelijking:\[a_1\cdot x_1+a_2\cdot x_2+a_3\cdot x_3=d\tiny.\]
We kiezen de drie punten via de parameterkeuzes #\rv{\lambda,\mu}=\rv{0,0}#, #\rv{1,0}#, #\rv{0,1}#. In coördinaten:
\[\begin{array}{cl}& \rv{ -3,5,-10 }\\ & \rv{ 1 , 9 , -6 }\\ & \rv{ -8 , 7 , -7 }\end{array}\]Invullen van de coördinaten van elk van deze punten in bovenstaande vergelijking geeft het volgende stelsel lineaire vergelijkingen in #a_1#, #a_2#, #a_3#, #d#:
\[\eqs{ -3\cdot a_{1}+5\cdot a_{2}-10\cdot a_{3} &=& d\cr a_{1}+9\cdot a_{2}-6\cdot a_{3} &=& d\cr -8\cdot a_{1}+7\cdot a_{2}-7\cdot a_{3} &=& d }\]
Een oplossing hiervan met gehele waarden is #\rv{a_1,a_2,a_3,d}=\left[ -1 , 8 , -7 , 113 \right]#. Dit betekent dat de drie punten, en dus alle punten van #V#, oplossingen zijn van de vergelijking \[-x_{1}+8\cdot x_{2}-7\cdot x_{3}=113\tiny.\]Volgens de theorie is #\left[ -1 , 8 , -7 \right]# een normaalvector.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
