Normaalvectoren

Vectorrekening in vlak en ruimte: Afstanden, hoeken en inproduct

Normaalvectoren

Het inproduct in $\mathbb{R}^3$ kan gebruikt worden om een lineaire vergelijking met drie onbekenden te beschrijven.

Normaalvector

Laat $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ en $d$ reële getallen zijn. Schrijf $\vec{a}=\rv{a_1,a_2,a_3}$ . De lineaire vergelijking

$a_1\cdot x_1 + a_2\cdot x_2 + a_3 \cdot x_3 = d$ kan met behulp van het inproduct geschreven worden als

$\dotprod{\vec{a}}{ \vec{x}}=d$ waarbij $\vec{x}=\rv{x_1,x_2,x_3}$ is. Als $\vec{a}$ niet de nulvector is, dan is de oplossingsverzameling van de vergelijking een vlak en noemen we $\vec{a}$ een normaalvector van het vlak.

Zijn $\vec{u}=\rv{u_1, u_2, u_3}$ en $\vec{v}=\rv{v_1, v_2, v_3}$ twee vectoren in het vlak $V$ met vergelijking $2x_1 -x_2 + 3x_3 = 6$ , dan geldt dus $2u_1 -u_2 + 3u_3 = 6$ en $2v_1 -v_2 + 3v_3 = 6$ . Aftrekken van deze twee gelijkheden levert

$2(u_1 - v_1) -(u_2 -v_2)+3(u_3-v_3) = 0$
Deze gelijkheid kunnen we ook als volgt lezen:

$\rv{2,-1,3}\cdot \rv{u_1-v_1, u_2-v_2, u_3-v_3}= 0$
ofwel, de verschilvector $\vec{u}-\vec{v}$ staat loodrecht op de vector $\rv{2,-1,3}$ . In het bijzonder is $\rv{2,-1,3}$ een vector die loodrecht staat op alle richtingsvectoren van het vlak: een normaalvector van het vlak.

Laat $V$ een vlak zijn in $\mathbb{R}^3$ en $\vec{a}$ een normaalvector van $V$ .

De vector $\vec{a}$ is uniek bepaald op een scalair veelvoud na.
Een vector $\vec{r}$ in $\mathbb{R}^3$ is dan en slechts dan een richtingsvector van $V$ als $\vec{a}\cdot\vec{r}=0$ .

Zijn $\vec{u}$ en $\vec{v}$ twee vectoren in het vlak, dan geldt $\vec{a}\cdot \vec{u} = d$ en $\vec{a}\cdot \vec{v} = d$ . Aftrekken van deze gelijkheden levert $(\vec{a}\cdot \vec{u}) - (\vec{a}\cdot \vec{v}) = 0$ en dus, via de eigenschappen van het inproduct (additiviteit en associativiteit ten opzichte van scalaire vermenigvuldiging):

$\vec{a}\cdot( \vec{u}-\vec{v})=0$ Met andere woorden: de verschilvector $\vec{u}-\vec{v}$ staat loodrecht op $\vec{a}$ . In het bijzonder staan richtingsvectoren van het vlak $V$ loodrecht op de normaalvector $\vec{a}$ .

Voor rechten in het vlak geldt iets soortgelijks: is $a_1\cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 = d$ de vergelijking van een rechte, dan is $\rv{a_1, a_2}$ een normaalvector van de rechte. De vector staat loodrecht op elke richtingsvector van de rechte.

Laat $V$ het vlak zijn met parametervoorstelling

$\left[9,-4,-7\right]+\lambda\cdot \rv{-1,0,-5}+\mu\cdot\rv{-4,5,4}\tiny.$

Bepaal een normaalvector van $V$ .

Geef je antwoord in de vorm $\rv{a_1,a_2,a_3}$ , waarbij $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ gehele getallen zijn.

$\left[ 25 , 24 , -5 \right]$

Om dit in te zien, zoeken we een lineaire vergelijking waar $V$ de oplossingsverzameling van is. Dit doen we door drie punten van $V$ te kiezen die niet door één lijn gaan en die in te vullen in de algemene vorm van de vergelijking:

$a_1\cdot x_1+a_2\cdot x_2+a_3\cdot x_3=d\tiny.$
We kiezen de drie punten via de parameterkeuzes $\rv{\lambda,\mu}=\rv{0,0}$ , $\rv{1,0}$ , $\rv{0,1}$ . In coördinaten:

$\begin{array}{cl}& \rv{ 9,-4,-7 }\\ & \rv{ 8 , -4 , -12 }\\ & \rv{ 5 , 1 , -3 }\end{array}$ Invullen van de coördinaten van elk van deze punten in bovenstaande vergelijking geeft het volgende stelsel lineaire vergelijkingen in $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $d$ :

$\eqs{ 9\cdot a_{1}-4\cdot a_{2}-7\cdot a_{3} &=& d\cr 8\cdot a_{1}-4 \cdot a_{2}-12\cdot a_{3} &=& d\cr 5\cdot a_{1}+a_{2}-3\cdot a_{3} &=& d }$
Een oplossing hiervan met gehele waarden is $\rv{a_1,a_2,a_3,d}=\left[ 25 , 24 , -5 , 164 \right]$ . Dit betekent dat de drie punten, en dus alle punten van $V$ , oplossingen zijn van de vergelijking

$25\cdot x_{1}+24\cdot x_{2}-5\cdot x_{3}=164\tiny.$ Volgens de theorie is $\left[ 25 , 24 , -5 \right]$ een normaalvector.

Nieuw voorbeeld