Kwadratische vergelijkingen oplossen met de abc-formule

Kwadratische formules en vergelijkingen: Kwadratische vergelijkingen

Kwadratische vergelijkingen oplossen met de abc-formule

De kwadratische vergelijking #x^2+5x+5=0# is niet met ontbinden in factoren op te lossen. We kunnen deze kwadratische vergelijking wel met kwadraatafsplitsen oplossen, maar kwadraatafsplitsen is zeker in moeilijkere gevallen veel werk.

Daarom wordt meestal de abc-for‍mule, die afgeleid is van kwadraatsplitsen, gebruikt voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen die niet met ontbinden in factoren zijn op te lossen.

Abc-for‍mule en discr‍iminant

De oplossingen van een kwadratische vergelijking van de vorm \[\blue ax^2+\green bx+\purple c=0\] zijn:

\[x=\frac{-\green b-\sqrt{\orange D}}{2 \blue a} \lor x=\frac{-\green b+\sqrt{\orange D}}{2 \blue a}\]

Hierbij geldt #\orange D=\green b^2-4\blue a \purple c#. We noemen #\orange D# de discriminant, omdat de waarde van #\orange D# bepaalt hoeveel oplossingen er zijn.

Als #\orange D \lt 0# dan zijn er geen oplossingen.

Als #\orange D = 0# dan is er één oplossing, #x=\frac{-\green b}{2\blue a}#.

Als #\orange D \gt 0# dan zijn er twee oplossingen.

We noemen dit de abc-for‍mule.

geogebra plaatje

We kunnen dit als volgt herleiden:

\[\begin{array}{rcl}\blue a x^2+\green b x +\purple c&=&0 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{de oorspronkelijke vergelijking}}\\ x^2+\frac{\green b}{\blue a} x +\frac{\purple c}{\blue a}&=&0 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{alle termen door }a \text{ gedeeld}} \\ \left(x+\frac{\green b}{2\blue a}\right)^2-\left(\frac{\green b}{2 \blue a}\right)^2+\frac{\purple c}{\blue a}&=&0 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{kwadraat afgesplitst}}\\ \left(x+\frac{\green b}{2\blue a}\right)^2-\frac{\green b^2}{4 \blue a^2}+\frac{4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}&=&0 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{kwadraat uitgewerkt en breuken gelijknamig gemaakt}}\\ \left(x+\frac{\green b}{2\blue a}\right)^2-\frac{\green b^2-4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}&=&0\\ &&\phantom{xx}\blue{\text{breuken opgeteld}}\\ \left(x+\frac{\green b}{2\blue a}\right)^2&=&\frac{\green b^2-4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}\\ &&\phantom{xx}\blue{\text{constante naar de andere kant gehaald}}\\ x+\frac{\green b}{2\blue a}=-\sqrt{\frac{\green b^2-4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}} &\lor& x+\frac{\green b}{2\blue a}=\sqrt{\frac{\green b^2-4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}} \\&&\phantom{xx}\blue{\text{beiden kanten wortelgetrokken}}\\ x=\frac{-\green b}{2\blue a}-\sqrt{\frac{\green b^2-4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}} &\lor& x=\frac{-\green b}{2\blue a}+\sqrt{\frac{\green b^2-4 \blue a\purple c}{4 \blue a^2}} \\&&\phantom{xx}\blue{\text{beide kanten }\frac{b}{2a} \text{ afgetrokken}}\\ x=\frac{-\green b}{2\blue a}-\frac{\sqrt{\green b^2-4 \blue a\purple c}}{\sqrt{4 \blue a^2}} &\lor& x=\frac{-\green b}{2\blue a}+\frac{\sqrt{\green b^2-4 \blue a\purple c}}{\sqrt{4 \blue a^2}} \\&&\phantom{xx}\blue{\text{wortel van een breuk is breuk van de wortels}} \\x=\frac{-\green b}{2\blue a}-\frac{\sqrt{\green b^2-4 \blue a\purple c}}{2\blue a} &\lor& x=\frac{-\green b}{2\blue a}+\frac{\sqrt{\green b^2-4 \blue a\purple c}}{2 \blue a} \\&&\phantom{xx}\blue{\text{wortel uitgerekend}} \\ x=\frac{-\green b-\sqrt{\green b^2-4\blue a \purple c}}{2\blue a} &\lor& x=\frac{-\green b+\sqrt{\green b^2-4\blue a \purple c}}{2\blue a} \\&&\phantom{xx}\blue{\text{breuken opgeteld}}\end{array}\]

Wanneer we nu #\green b^2-4\blue a \purple c# als #\orange D# schrijven, zien we de uitdrukking uit de abc-formule.

Met behulp van de abc-formule kunnen we alle kwadratische vergelijkingen oplossen.

Kwadratische vergelijkingen oplossen met de abc-formule

	Stappenplan	Voorbeeld
	We lossen een kwadratische vergelijking in onbekende #x# op met de abc-formule.	#3x^2+2x+5=4x+8#
Stap 1	Herleid de vergelijking tot de vorm #\blue ax^2+\green bx+\purple c=0#.	#\blue 3x^2\green{-2}x\purple{-3}=0#
Stap 2	Benoem #\blue a#, #\green b# en #\purple c#.	#\blue a =\blue3#, #\green b=\green{-2}# en #\purple c = \purple{-3}#
Stap 3	Bereken de discriminant #\orange D=\green b^2-4\blue a \purple c#.	#\orange D=(\green{-2})^2-4\cdot \blue3 \cdot (\purple{-3})=\orange{40}\gt0#
Stap 4	Bepaal hoe veel oplossingen er zijn. Als #D \gt 0#, zijn er #2# oplossingen. Als #D=0#, dan is er één oplossing. Als #D \lt 0#, dan zijn er geen oplossingen.	Er zijn twee oplossingen.
Stap 5	Geef de oplossingen, indien ze er zijn: \[x=\frac{-\green b-\sqrt{\orange D}}{2 \blue a} \lor x=\frac{-\green b+\sqrt{\orange D}}{2 \blue a}\]	#\begin{array}{rcl}x&=&\dfrac{-(\green{-2})-\sqrt{\orange{40}}}{2 \cdot \blue{3}}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{10}}{3} \\ &\lor& \\ x&=&\dfrac{-(\green{-2})+\sqrt{\orange{40}}}{2 \cdot \blue3}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{10}}{3}\end{array}#

VereenvoudigenZoals in het voorbeeld zichtbaar wordt, is het de bedoeling om de oplossingen zo eenvoudig mogelijk op te schrijven. Dit betekent dat we de vermenigvuldigingen uitrekenen, wortels herleiden tot standaardvorm en de breuken zo ver mogelijk vereenvoudigen.

Los #x# op in\[x^2+x-1=0\]
Schrijf:

#geen# als er geen oplossing is,
#x=a# als er één oplossing is,
#x=a\lor x=b# als er twee oplossingen zijn,

met de juiste exacte (geen decimale getallen) waarden voor #a# en #b#.

#x={{-\sqrt{5}-1}\over{2}}\lor x={{\sqrt{5}-1}\over{2}}#

We lossen de vergelijking met de abc-formule op. De vergelijking is al herleid op #0#. Dus we beginnen bij stap 2 van het stappenplan.

Stap 2	We bepalen #a#, #b# en #c#. #a=1#, #b=1# en #c=-1#
Stap 3	We berekenen de discriminant. \[\begin{array}{rcl}D&=&b^2-4ac \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{formule voor discriminant}}\\ &=& 1^2-4\cdot 1\cdot (-1)\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld}}\\ &=& 5 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}}\end{array}\]
Stap 4	De discriminant #D \gt 0#, dus het aantal oplossingen is gelijk aan #2#.
Stap 5	We bepalen de oplossingen van de vergelijking. \[\begin{array}{rcl}x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} &\lor& x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{formule voor de oplossingen}}\\ x=\frac{{-1}-\sqrt{5}}{2 \cdot 1} &\lor& x=\frac{{-1}+\sqrt{5}}{2 \cdot 1} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld}}\\ x={{-\sqrt{5}-1}\over{2}} &\lor& x={{\sqrt{5}-1}\over{2}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\\ \end{array}\]

De grafiek van de formule #y=x^2+x-1# is hieronder getekend. De #x#-coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de #x#-as zijn de oplossingen van de vergelijking.

Nieuw voorbeeld