Hoofdstuk 4: Kansverdelingen: Kansmodellen
Continue kansmodellen
Continu kansmodel
Als de uitkomstenruimte #\Omega# van een kansexperiment bestaat uit een ontelbare set uitkomsten, dan moeten we een continu kansmodel gebruiken om de kans op een gebeurtenis te berekenen.
Intervallen zijn voorbeelden van ontelbare sets. Bijvoorbeeld het interval #(0, \infty)# of het interval #[1,5]#.
Kansrekening continu kansmodel
De grafiek van een continu kansmodel heet een dichtheidscurve, en heeft de volgende eigenschappen:
- Een dichtheidscurve ligt altijd op of boven de horizontale as.
- Het totale oppervlak onder de gehele dichtheidscurve is altijd gelijk aan #1#.
Voor een continu kansmodel, is de kans op een gebeurtenis gelijk aan oppervlak onder de dichtheidscurve boven alle uitkomsten in die gebeurtenis.
Laat #X# een willekeurig getal zijn uit het interval #[0,5]#.
Bereken de kansen op de volgende gebeurtenissen:
- #A = \{X\gt3 \}#
- #B = \{1 \leq X \leq 4\}#
Aangezien alle getallen uit het interval #[0,5]# een even grote kans hebben om gekozen te worden, is de dichtheidscurve vlak:
Het oppervlakte onder deze is curve is een rechthoek met een lengte van #5#. Hieruit volgt dat de curve op een hoogte van #\cfrac{1}{5}# ligt, aangezien het totale oppervlak onder de curve gelijk moet zijn aan #1#:
\[5\cdot x = 1 \Rightarrow x = \cfrac{1}{5}\]
De kans op gebeurtenis #A# is:
| \[\mathbb{P}(A)=(5-3)\cdot \cfrac{1}{5}=\cfrac{2}{5}\] |
 |
De kans op gebeurtenis #B# is:
| \[\mathbb{P}(B)=(4-1)\cdot \cfrac{1}{5}=\cfrac{3}{5}\] |
 |
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
