Kansverdelingen

Hoofdstuk 4: Kansverdelingen: Kansvariabelen

Kansverdelingen

Kansverdeling

Definitie

Een kansverdeling is een functie die elke uitkomst van een kansexperiment koppelt aan de kans dat de uitkomst zich voordoet.

Notatie

De kansverdeling van een kansvariabele $X$ wordt aangeduid met $f(x)$ .

$\phantom{0}$

KansfunctieDe kansverdeling van een discrete kansvariabele wordt een kansfunctie genoemd.

Een kansfunctie geeft, voor elke waarde $x$ die de kansvariabele kan aannemen, de kans dat $X$ gelijk is aan $x$ .

$f(x)=\mathbb{P}(X=x)$

De cumulatieve verdelingsfunctie van een discrete kansvariabele geeft de kans aan dat $X$ kleiner dan of gelijk is aan $x$ .

$F(x)=\mathbb{P}(X\leq x)$

Stel je een kansexperiment voor waarbij we twee keer een muntje opgooien. Laat $X$ het aantal keer zijn dat de munt met Kop bovenkomt.

Dan is de kansverdeling van $X$ :

$x$	$0$	$1$	$2$
$\mathbb{P}(X=x)$	$0.25$	$0.5$	$0.25$

Rekenregels discrete kansverdeling

Voor elke discrete kansverdeling gelden de volgende rekenregels:

$\mathbb{P}(X \leq x) = \mathbb{P}(X=0) +\mathbb{P}(X=1) + \ldots + \mathbb{P}(X=x)$
$\mathbb{P}(X \geq x) = 1 - \mathbb{P}(X \lt x) = 1 - \mathbb{P}(X \leq x-1)$
$\mathbb{P}(X \lt x) = \mathbb{P}(X \leq x-1) = 1 - \mathbb{P}(X \geq x)$
$\mathbb{P}(X \gt x) = \mathbb{P}(X \geq x+1) = 1 - \mathbb{P}(X \leq x)$

Bovendien geldt voor elke $2$ waarden $a$ en $b$ in het bereik van $X$ (met $a<b$ ) dat:

$\mathbb{P}(a \lt X \leq b) = \mathbb{P}(X \leq b) - \mathbb{P}(X \leq a)$

$\phantom{0}$

Kansdichtheidsfunctie
De kansverdeling van een continue kansvariabele wordt een kansdichtheidsfunctie genoemd.

De kans dat een kansvariabele $X$ tussen de punten $a$ en $b$ valt is gelijk aan het oppervlakte onder de curve tussen $a$ en $b$ .
$\phantom{0}$

Rekenregels continue kansverdeling

Voor elke continue kansverdeling gelden de volgende rekenregels:

$\mathbb{P}(X=k)=0$
$\mathbb{P}(X\leq k)=\mathbb{P}(X\lt k) =1 - \mathbb{P}(X \geq k)$
$\mathbb{P}(X\geq k)=\mathbb{P}(X\gt k)= 1 - \mathbb{P}(X \leq k)$

Bovendien, voor elke $2$ waarden $j$ en $k$ (met $j\lt k$ ), gelden de volgende rekenregels:

$\mathbb{P}(j\lt X\lt k)=\mathbb{P}(j\leq X \lt k)=\mathbb{P}(j \lt X\leq k)=\mathbb{P}(j\leq X\leq k)$
$\mathbb{P}(k\gt X \gt j)=\mathbb{P}(k\geq X \gt j)=\mathbb{P}(k\gt X\geq j)=\mathbb{P}(k \geq X\geq j)$
$\mathbb{P}(j \leq X \leq k) = \mathbb{P}(X \leq k) - \mathbb{P}(X \leq j)$