Variantie van een kansvariabele

Hoofdstuk 4: Kansverdelingen: Kansvariabelen

Variantie van een kansvariabele

Variantie en standaarafwijking

Definitie

De variantie van een kansvariabele $X$ is de gemiddelde kwadratische afwijking van de verwachtingswaarde.

$\phantom{0}$
De standaardafwijking van $X$ is de positieve vierkantswortel van de variantie.

Notatie

$\sigma^2$

Alternatieven: $\sigma_X^2$ or $Var[X]$

$\sigma$

Alternatieven: $\sigma_X$ or $SD[X]$

Laat $X$ een discrete kansvariabele zijn met een verwachtingswaarde $\mathbb{E}[X]$ .

Dan wordt de variantie van $X$ als volgt berekend:
$\sigma^2=\mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2]$
Een alternatieve vorm van de bovenstaande formule die het rekenwerk makkelijker maakt is:

$\sigma^2=\mathbb{E}[X^2] - (E[X])^2$
Om de standaardafwijking te berekenen, trek je de positieve vierkantswortel uit de variantie:

$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$

Gegeven is de volgende kansverdeling van een discrete kansvariabele $X$ :

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$\mathbb{P}(X=x)$	$0.2$	$0.3$	$0.4$	$0.1$

Bereken de variantie en de standaardafwijking van $X$ .

Om de variantie van $X$ te berekenen, gebruiken we de volgende formule
$\sigma^2=\mathbb{E}[X^2] - (E[X])^2$
Bereken eerst de verwachtingswaarde $\mathbb{E}[X]$ :
$\begin{array}{rcl} \mathbb{E}[X]&=&\sum\limits_{\text{alle }x\text{ in }R(X)}x\cdot f(x)\\\\ &=&0 \cdot \mathbb{P}(X=0) + 1 \cdot \mathbb{P}(X=1) +2 \cdot \mathbb{P}(X=2) +3 \cdot \mathbb{P}(X=3) \\\\ &=&0 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.4 + 3 \cdot 0.1\\\\ &=& 1.4\\ \end{array}$
Bereken $\mathbb{E}[X^2]$ :
$\begin{array}{rcl} \mathbb{E}[X^2]&=&\sum\limits_{\text{alle }x\text{ in }R(X)}x^2\cdot f(x)\\\\ &=&0^2 \cdot \mathbb{P}(X=0) + 1^2 \cdot \mathbb{P}(X=1) +2^2 \cdot \mathbb{P}(X=2) +3^2 \cdot \mathbb{P}(X=3) \\\\ &=&0^2 \cdot 0.2 + 1^2 \cdot 0.3 + 2^2 \cdot 0.4 + 3^2 \cdot 0.1\\\\ &=& 2.8\\ \end{array}$
Bereken de variantie $\sigma^2$ :
$\begin{array}{rcl} \sigma^2 &=& \mathbb{E}[X^2] - (E[X])^2\\\\ &=& 2.8 - 1.4^2\\\\ &=& 0.84 \end{array}$
Om de standaardafwijking te berekenen, trekken we de positieve vierkantswortel uit de variantie:
$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{0.84} = 0.917$

Nieuw voorbeeld

$\phantom{0}$

Variantie en standaardafwijking van een continue kansvariabele
De variantie van een continue kansvariabele wordt berekend met behulp van integraalrekening. Dit wordt niet in deze cursus behandeld.