De binomiale kansverdeling

Hoofdstuk 4: Kansverdelingen: Veelvoorkomende kansverdelingen

De binomiale kansverdeling

Binomiaal experiment
In een binomiaal experiment geldt het volgende.

We voeren #n# onafhankelijke Bernoulli proeven uit.
De kans op succes #p# is hetzelfde voor elke proef.
De variabele waarin we geïnteresseerd zijn, #X#, is het totale aantal waargenomen successen.

Binominale verdeling
Laat #X# het aantal successen zijn onder #n# proeven in een binominaal experiment, dan is #X# een binominale kansvariabele met bereik: \[R(X)=\{0,1,\ldots,n\}\]

We zeggen dat #X# binomiaal verdeeld is met parameters #n# en #p# en schrijven dit als: \[X \sim B(n,p)\]

GeoGebra

Stel dat we een munt #12# keer opgooien en een succes definiëren als kop gooien.

Laat #X# het aantal successen zijn onder de #12# proeven.

Dan is #X# binomiaal verdeeld met #n=12# en #p=\mathbb{P}(\textit{Kop}) = 0.5# : \[X\sim B(12,0.5)\]

Stel dat #21\%# van de mensen in een grote populatie roker is. Kies willekeurig #100# mensen en vraag hen: "Bent u een roker"? Definieer een persoon die "Ja" antwoordt als een succes.

Laat #Y# het aantal successen zijn onder de #100# waarnemingen.

Dan is #Y# binomiaal verdeeld met #n=100# en #p=0.21# : \[Y\sim B(100, 0.21)\]

#\phantom{0}#

Berekening van binominale kansen met statistische software
Laat #X# een binominale kansvariabele zijn met parameters #n# en #p#.

Gebruik de volgende functie om #\mathbb{P}(X=x)# in Excel te berekenen:

BINOM.DIST(x, n, p, cumulative)

x : Het aantal successen.

n : Het aantal proeven.

p : De kans op succes voor elke proef.

cumulative : Een logische waarde die bepaalt welke vorm de kansverdeling krijgt.

TRUE - gebruikt de cumulatieve verdeling (maximaal x successen), #\mathbb{P}(X \leq x)#

FALSE - gebruikt de kansfunctie (precies x successen), #\mathbb{P}(X = x)#

Gebruik de volgende functie om #\mathbb{P}(X=x)# in R te berekenen:

dbinom(x, size, prob)

x : Het aantal successen.

size : Het aantal proeven.

prob : De kans op succes voor elke proef.

Stel dat #X# binominaal verdeeld is met #n=10# en #p=0.7#.

Bereken #\mathbb{P}(X = 8)#. Rond je antwoord af op #3# decimalen.

#\mathbb{P}(X = 8)=0.233#

Er zijn een aantal verschillende manieren waarop we #\mathbb{P}(X = 8)# kunnen berekenen. Klik op één van de panelen om een specifieke oplossing the bekijken.

Berekening in Excel

Gebruik de volgende functie om #\mathbb{P}(X = 8)# in Excel te berekenen:

BINOM.DIST(x, n, p, cumulative)

x: Het aantal successen.

n: Het aantal proeven.

p: De kans op succes voor elke proef.

cumulative: Een logische waarde die bepaalt welke vorm de kansverdeling krijgt.

TRUE - gebruikt de cumulatieve verdeling (maximaal x successen), #\mathbb{P}(X \leq x)#

FALSE - gebruikt de kansfunctie (precies x successen), #\mathbb{P}(X = x)#

Om #\mathbb{P}(X = 8)# te berekenen voeren we dus de volgende opdracht uit:
\[= \text{BINOM.DIST}(8, 10, 0.7, \text{FALSE})\]
Dit geeft:
\[\mathbb{P}(X = 8) = 0.233\]

Berekening in R

Gebruik de volgende functie om #\mathbb{P}(X = 8)# in R te berekenen:

dbinom(x, size, prob)

x: Het aantal successen.

size: Het aantal proeven.

prob: De kans op succes voor elke proef.

Om #\mathbb{P}(X = 8)# te berekenen voeren we dus de volgende opdracht uit:
\[\text{dbinom}(x = 8, size = 10, prob = 0.7)\]
Dit geeft:
\[\mathbb{P}(X = 8) = 0.233\]

Nieuw voorbeeld

#\phantom{0}#

Berekening van cumulatieve binominale kansen met statistische software
Laat #X# een binominale kansvariabele zijn met parameters #n# en #p#.

Gebruik de volgende functie om cumulatieve kansen voor een binominale verdeling in Excel te berekenen:

BINOM.DIST(x, n, p, cumulative)

x : Het aantal successen.

n : Het aantal proeven.

p : De kans op succes voor elke proef.

cumulative : Een logische waarde die bepaalt welke vorm de kansverdeling krijgt.

TRUE - gebruikt de cumulatieve verdeling (maximaal x successen), #\mathbb{P}(X \leq x)#

FALSE - gebruikt de kansfunctie (precies x successen), #\mathbb{P}(X = x)#

Gebruik de volgende functie om cumulatieve kansen voor een binominale verdeling in R te berekenen:

pbinom(x, size, prob)

x : Het aantal successen.

size : Het aantal proeven.

prob : De kans op succes voor elke proef.

Cumulatieve eigenschappen van discrete distributies
Omdat de binominale verdeling discreet is, gelden de volgende eigenschappen met betrekking tot de cumulatieve kansen:

#\mathbb{P}(X \leq x) = \mathbb{P}(X=0) +\mathbb{P}(X=1) + \ldots + \mathbb{P}(X=x)#
#\mathbb{P}(X \lt x) = \mathbb{P}(X \leq x-1)#
#\mathbb{P}(X \gt x) = 1 - \mathbb{P}(X \leq x)#
#\mathbb{P}(X \geq x) = 1 - \mathbb{P}(X \leq x-1)#

Bovendien geldt voor alle #2# waarden #a# en #b# in het bereik van #X# (met #a<b# ):

#\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = \mathbb{P}(X \leq b) - \mathbb{P}(X \leq a - 1)#
#\mathbb{P}(a \leq X \lt b) = \mathbb{P}(X \leq b - 1) - \mathbb{P}(X \leq a - 1)#
#\mathbb{P}(a \lt X \leq b) = \mathbb{P}(X \leq b) - \mathbb{P}(X \leq a)#
#\mathbb{P}(a \lt X \lt b) = \mathbb{P}(X \leq b - 1) - \mathbb{P}(X \leq a)#

Stel dat #X# binomiaal verdeeld is met #n=10# en #p=0.7#.

Bereken #\mathbb{P}(X \leq 6)#. Rond je antwoord af op #3# decimalen.

#\mathbb{P}(X \leq 6)=0.350#

Er zijn een aantal verschillende manieren waarop we #\mathbb{P}(X \leq 6)# kunnen berekenen. Klik op één van de panelen om een specifieke oplossing the bekijken.

Berekening in Excel

Gebruik de volgende functie om #\mathbb{P}(X \leq 6)# in Excel te berekenen:

BINOM.DIST(x, n, p, cumulative)

x: Het aantal successen.

n: Het aantal proeven.

p: De kans op succes voor elke proef.

cumulative: Een logische waarde die bepaalt welke vorm de kansverdeling krijgt.

TRUE - gebruikt de cumulatieve verdeling (maximaal x successen), #\mathbb{P}(X \leq x)#

FALSE - gebruikt de kansfunctie (precies x successen), #\mathbb{P}(X = x)#

Om #\mathbb{P}(X \leq 6)# te berekenen voeren we dus de volgende opdracht uit:
\[= \text{BINOM.DIST}(6, 10, 0.7, \text{TRUE})\]
Dit geeft:
\[\mathbb{P}(X \leq 6) = 0.350\]

Berekening in R

Gebruik de volgende functie om #\mathbb{P}(X \leq 6)# in R te berekenen:

pbinom(q, size, prob)

q: Het aantal successen.

size: Het aantal proeven.

prob: De kans op succes voor elke proef.

Om #\mathbb{P}(X \leq 6)# te berekenen voeren we dus de volgende opdracht uit:
\[\text{pbinom}(q = 6, size = 10, prob = 0.7)\]
Dit geeft:
\[\mathbb{P}(X \leq 6) = 0.350\]

Nieuw voorbeeld

#\text{}#

Gemiddelde, variantie en standaardafwijking van een binominale kansvariabele
Laat #X# een binomiaal verdeelde kansvariabele zijn met parameters #n# en #p#.

De verwachtingswaarde van #X# wordt berekend met de volgende formule: \[\mu = n\cdot p\]

De variantie van #X# wordt berekend met de volgende formule: \[\sigma^2 = n\cdot p \cdot (1-p)\]

En de standaardafwijking van #X# wordt berekend met de volgende formule: \[\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}\]

Laat #X# een binomiaal verdeelde kansvariabele zijn met parameters #n=12# en #p=0.20#.

Bereken de verwachtingswaarde van #X#. Rond je antwoord af op #2# decimalen.

#\mu=2.40#

De verwachtingswaarde van een binominale kansvariabele #X\sim B(n,p)# wordt als volgt berekend:
\[\begin{array}{rcl}
\mu&=&n \cdot p \\\\
&=& 12 \cdot 0.20 \\\\
&=& 2.40
\end{array}\]

Nieuw voorbeeld