De Bernoulli kansverdeling

Hoofdstuk 4: Kansverdelingen: Veelvoorkomende kansverdelingen

De Bernoulli kansverdeling

Bernoulli-experiment
Een Bernoulli-experiment is een kansexperiment met twee mogelijke uitkomsten: succes of mislukking.

$\Omega=\{\text{succes}, \text{ mislukking}\}$ Een succes wordt aangeduid als een ' $1$ ' en een mislukking als een ' $0$ '.

In een Bernoulli-experiment wordt de kans op een succes aangegeven met $p$ en de kans op mislukking met $q$ :

$\begin{array}{lcrcl} \mathbb{P}(\text{succes})\,=\,p&\phantom{Batman}&\mathbb{P}(\text{mislukking})&=&q\\\\ &&&=&1-p \end{array}$

Bernoulli kansvariabele
Laat $X$ een kansvariabele zijn die een waarde aanneemt van $1$ met kans $p$ en een waarde van $0$ met kans $1-p$ , dan is $X$ een Bernoulli kansvariabele.

We zeggen dat $X$ een Bernoulli-verdeelde kansvariabele is met parameter $p$ en schrijven dit als:

$X \sim Bernoulli(p)$

GeoGebra

Stel dat we een gewone zeszijdige dobbelsteen gooien en een succes definiëren als het gooien van een even getal.

Laat $X$ een kansvariabele zijn die de waarde $1$ krijgt als we een even getal gooien en de waarde $0$ als we een oneven getal gooien.

Dan is $X$ een Bernoulli-verdeelde kansvariabele met $p=\mathbb{P}(\text{Een even getal rollen}) = 0.5$ :

$X\sim Bernoulli(0.5)$

$\text{}$

Laat $X$ een Bernoulli-verdeelde kansvariabele zijn met parameter $p$ .

Dan wordt de verwachtingswaarde van $X$ berekend met de volgende formule:

$\mu = p$

De variantie van $X$ wordt berekend met de volgende formule:

$\sigma^2 = p \cdot (1-p)$

En de standaardafwijking van $X$ wordt berekend met de volgende formule:

$\sigma = \sqrt{p \cdot (1-p)}$

Laat $X$ een Bernoulli-verdeelde kansvariabele zijn met parameter $p=0.85$ .

Bereken de verwachtingswaarde van $X$ .

$\mu = 0.85$

De verwachtingswaarde van een Bernoulli kansvariabele $X\sim Bernoulli(p)$ wordt als volgt berekend:

$\begin{array}{rcl} \mu&=&p\\\\ &=& 0.85 \end{array}$

Nieuw voorbeeld

De Bernoulli verdeling dient als basis voor twee andere discrete kansverdelingen:

de binominale verdeling
de geometrische verdeling