Hoofdstuk 4: Kansverdelingen: Veelvoorkomende kansverdelingen
De Bernoulli kansverdeling
Een Bernoulli-experiment is een kansexperiment met twee mogelijke uitkomsten: succes of mislukking.
\[\Omega=\{\text{succes}, \text{ mislukking}\}\] Een succes wordt aangeduid als een ' #1# ' en een mislukking als een ' #0# '.
In een Bernoulli-experiment wordt de kans op een succes aangegeven met #p# en de kans op mislukking met #q#:
\[\begin{array}{lcrcl}
\mathbb{P}(\text{succes})\,=\,p&\phantom{Batman}&\mathbb{P}(\text{mislukking})&=&q\\\\
&&&=&1-p
\end{array}\]
Laat #X# een kansvariabele zijn die een waarde aanneemt van #1# met kans #p# en een waarde van #0# met kans #1-p#, dan is #X# een Bernoulli kansvariabele.
We zeggen dat #X# een Bernoulli-verdeelde kansvariabele is met parameter #p# en schrijven dit als: \[X \sim Bernoulli(p)\]
Stel dat we een gewone zeszijdige dobbelsteen gooien en een succes definiëren als het gooien van een even getal.
Laat #X# een kansvariabele zijn die de waarde #1# krijgt als we een even getal gooien en de waarde #0# als we een oneven getal gooien.
Dan is #X# een Bernoulli-verdeelde kansvariabele met #p=\mathbb{P}(\text{Een even getal rollen}) = 0.5#: \[X\sim Bernoulli(0.5)\]
#\text{}#
Gemiddelde en standaardafwijking van een Bernoulli kansvariabele
Laat #X# een Bernoulli-verdeelde kansvariabele zijn met parameter #p#.
Dan wordt de verwachtingswaarde van #X# berekend met de volgende formule: \[\mu = p\]
De variantie van #X# wordt berekend met de volgende formule: \[\sigma^2 = p \cdot (1-p)\]
En de standaardafwijking van #X# wordt berekend met de volgende formule: \[\sigma = \sqrt{p \cdot (1-p)}\]
De verwachtingswaarde van een Bernoulli kansvariabele #X\sim Bernoulli(p)# wordt als volgt berekend:
\[\begin{array}{rcl}
\mu&=&p\\\\
&=& 0.55
\end{array}\]
De Bernoulli verdeling dient als basis voor twee andere discrete kansverdelingen:
- de binominale verdeling
- de geometrische verdeling
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
