Opstellen van een vergelijking van een lijn

Stelsels lineaire vergelijkingen: Een vergelijking van een lijn

Opstellen van een vergelijking van een lijn

Grafisch

geogebra plaatje

Opstellen van een line‍aire vergelijking door twee punten

	Stappenplan	Voorbeeld
	Stel een vergelijking op van de lijn door twee punten #A=\rv{\blue{x_A}, \blue{y_A}}# en #B=\rv{\green{x_B}, \green{y_B}}#.	Stel dat # A=\rv{\blue2, \blue5}# en #B=\rv{\green4,\green2}#.
Stap 1	Bepaal de richtingscoëfficiënt #a# met behulp van de formule: \[a=\frac{\green{y_B}-\blue{y_A}}{\green{x_B}-\blue{x_A}}\]	#\begin{array}{rcl}a&=&\dfrac{\green{y_B}-\blue{y_A}}{\green{x_B}-\blue{x_A}}\\ &=&\dfrac{\green2-\blue5}{\green4-\blue2}\\ &=&-\dfrac{3}{2}\end{array}#
Stap 2	De vergelijking is van de vorm #y=a \cdot x+b# met de #a# uit stap 1 en #b# een nog nader te bepalen getal.	#y=-\dfrac{3}{2} \cdot x+b#
Stap 3	Vul het punt #A=\rv{\blue{x_A},\blue{y_A}}# in de vergelijking uit stap 2 in: \[\blue{y_A}=a \cdot \blue{x_A}+b\]	#\blue5=-\dfrac{3}{2} \cdot \blue2 +b#
Stap 4	Los de vergelijking uit stap 3 op voor onbekende #b#.	#\begin{array}{rcl}-\frac{3}{2} \cdot \blue{2} +b&=&\blue{5} \\ -3+b&=&5 \\ b &=&8 \end{array}#
Stap 5	Gebruik de in stap 4 gevonden waarde van #b#: \[y=a \cdot x+b\]	#y=-\dfrac{3}{2} \cdot x +8#

Horizontale lijn

Een uitzondering van deze aanpak is de horizontale lijn. Deze herkennen we doordat de #y#-coördinaten van de twee punten hetzelfde zijn. Dit is dus een lijn door de punten #A=\rv{x_A,\orange c}# en #B=\rv{x_B,\orange c}#. Deze lijn is gelijk aan #y=\orange c#.

Voorbeeld

De lijn door de punten #A=\rv{2,\orange8}# en #B=\rv{6, \orange8}# voldoet aan de vergelijking \[y=\orange 8\]

Verticale lijn

Een uitzondering van deze aanpak is de verticale lijn. Deze herkennen we doordat de #x#-coördinaten van de twee punten hetzelfde zijn. Dit is dus een lijn door de punten #A=\rv{\orange c, y_A}# en #B=\rv{\orange c, y_B}#. Deze lijn is gelijk aan #x=\orange c#.

Voorbeeld

De lijn door de punten #A=\rv{\orange8, 2}# en #B=\rv{\orange8,6}# voldoet aan de vergelijking \[x=\orange 8\]

Vergelijking opstellen bij grafiekMet behulp van deze aanpak kunnen we ook een vergelijking opstellen bij een grafiek van een lijn. Dit doen we door twee goed afleesbare punten af te lezen en dan met die twee punten dit stappenplan te volgen.

Voorbeeld

We gaan een vergelijking opstellen van de vorm #y=a \cdot x +b# bij de onderstaande lijn.

We kiezen eerst twee goed afleesbare punten af, bijvoorbeeld #A=\rv{-2,0}# en #B=\rv{4,4}#. Vervolgens volgen we het stappen plan.

Stap 1 De richtingscoëfficiënt #a# berekenen we met behulp van de formule: \[a=\frac{4-0}{4--2}=-\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\]

Stap 2 De vergelijking is dus van de vorm #y=\tfrac{2}{3} \cdot x+b#.

Stap 3 We vullen het punt #A=\rv{-2,0}# in de vergelijking uit stap 2 in. Dat geeft: \[0=\tfrac{2}{3} \cdot -2 +b\]

Stap 4 We lossen de vergelijking uit stap 3 op en vinden #b=\tfrac{4}{3}#.

Stap 5 De vergelijking is dus #y=\tfrac{2}{3} \cdot x +\tfrac{4}{3}#.

Gegeven richtingscoëfficiëntOm een vergelijking op te stellen van een lijn is het ook voldoende om de richtingscoëfficiënt en één punt gegeven te hebben. We beginnen dan eigenlijk bij stap 2 van het stappenplan en vullen meteen de gegeven richtingscoëfficiënt in.

Bepaal een vergelijking voor de rechte lijn die door #\rv{2,-3}# gaat en richtingscoëfficiënt (ofwel helling) #2# heeft.

Geef je antwoord in de vorm #y=a\cdot x+b# of #x=b# voor geschikte getallen #a# en #b#, met onbekenden #x# en #y#, de coördinaten van een punt in het vlak.

#y= 2\cdot x -7 #

Stap 1	De richtingscoëfficiënt is gegeven en is gelijk aan #2#.
Stap 2	We vullen de richtingscoëfficiënt in de vergelijking van een lijn #y=a \cdot x+b# in. De vergelijking is dus van de vorm: \[y=2\cdot x+b\] waarbij #b# een getal is.
Stap 3	We vullen het punt #\rv{2,-3}# in de vergelijking uit stap 2 in. Dat geeft: \[ -3=2\cdot 2+b\]
Stap 4	We lossen de vergelijking uit stap 3 op met herleiding. \[\begin{array}{rcl} -3&=&2\cdot 2+b \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}}\\ -3&=&4+b \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\\ -7&=&b \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten min }4}\\ \end{array}\] Dus we vinden #b=-7#.
Stap 5	We vullen nu #b=-7# in de vergelijking van stap 2 in. Dan vinden we dat de lijn gegeven wordt door de vergelijking: \[y= 2\cdot x -7\]

Nieuw voorbeeld