Herleiden met algebraïsche regels

Algebra: Inleiding tot algebra

Herleiden met algebraïsche regels

Bij het optellen van getallen kunnen we de volgorde omdraaien:

$\blue{\text{eerste getal}} + \green{\text{tweede getal}}= \green{\text{tweede getal}} +\blue{\text{eerste getal}}$

We kunnen dit korter opschrijven door variabelen te gebruiken:

Hierbij stellen $\blue a$ en $\green b$ willekeurige getallen voor. Welk getal je ook invult voor $\blue a$ en $\green b$ deze gelijkheid is altijd waar. We kunnen voor $\green a$ en $\blue b$ ook weer andere variabele in vullen wat handig van pas komt bij het herleiden van uitdrukkingen, zoals in het voorbeeld hier rechts.

Voorbeelden

${\begin{array}{rcl}{x+\blue{y}+\green{2x} +y }&{=}& {x + \green{2x} + \blue{y} +y}\\ &{=}&{3x + y +y} \\ &{=}&{3x+2y} \end{array}}$

In de wiskunde bestaan vele wetmatigheden die voor alle getallen gelden. Een ander voorbeeld is

$\blue{a} + 0 = \blue a$ Dit heet een algebraïsche regel.

Rechts staan andere voorbeelden van algebraïsche regels die gelden voor elk getal $\blue{a}$ .

Voorbeelden

$\begin{array}{rcl} 1\cdot \blue{a} &=& \blue a \\ \\ -1\cdot \blue{a} &=& -\blue a \\ \\ 0\cdot \blue{a} &=& 0 \\ \end{array}$

Eisen aan variabelen

In een regel stelt een variabele een willekeurig getal voor, maar er kunnen wel eisen aan de getallen worden gesteld. Bijvoorbeeld dat het getal geheel moet zijn. Als er geen eisen vermeld staan, mogen alle getallen ingevuld worden, zolang de uitdrukkingen in de regel wiskundig mogelijk blijven.

We schrijven algebraïsche regels in het vervolg vaak kort op met aan de rechterkant voorbeelden hoe de regel gebruikt kan worden. Met kleuren word duidelijker gemaakt hoe de variabelen in de regel vervangen wordt.

$1\cdot \blue{a} = \blue a$

Voorbeeld

$3x-2x = 1\cdot \blue{x} = \blue{x}$

$-1\cdot \blue{a} = -\blue a$

Voorbeeld

$4x-5x = -1\cdot \blue{x} = -\blue{x}$

$0\cdot \blue{a} = 0$

Voorbeeld

$4x^2-4x^2 = 0\cdot \blue{4x^2} = 0$

Herleid $-8 x -2 x y -9 x + 2 x y$ .

$-17 x$

$\begin{array}{rcl} -8 x -2 x y -9 x + 2 x y &=& -8x -9 x -2 x y + 2xy \\ && \qquad\blue{\text{regel $a+b=b+a$}}\\ &=&-17 x -2 x y + 2 x y \\ && \qquad\blue{\text{coëfficiënten van $x$ opgeteld}}\\ &=& -17 x + 0 x y \\ && \qquad\blue{\text{coëfficiënten van $xy$ opgeteld}}\\ &=& -17 x + 0 \\ && \qquad\blue{\text{regel $0\cdot a = 0$}}\\ &=& -17 x \\ && \qquad\blue{\text{regel $a+0= a$}}\\ \end{array}$

Nieuw voorbeeld