Gebroken machten

Algebra: Rekenen met machten en wortels

Gebroken machten

Een gebroken macht is een macht waarbij de exponent een breuk is. Een wortel kan geschreven worden als een gebroken macht.

Voor $\blue a\geq 0$ en gehele $\orange n \geq 2$ geldt:

$\blue a^{\frac{1}{\orange n}}=\sqrt[\orange n]{\blue a}$

Voorbeelden

$\begin{array}{rcl}\blue{x}^{\frac{1}{\orange{2}}}&=& \sqrt{\blue{x}}\\ \\ \blue{x}^{\frac{1}{\orange{5}}}&=&\sqrt[\orange{5}]{\blue{x}}\end{array}$

Voor $\blue a \geq 0$ en gehele $\orange n, \purple m \geq 2$ geldt:

$\blue a^{\frac{\purple m}{\orange n}}=\sqrt[\orange n]{\blue a^\purple m}$

Voorbeelden

$\begin{array}{rcl}\blue{x}^{\frac{\purple{3}}{\orange{2}}} &=& \sqrt{\blue{x^\purple{3}}}\\ \\ \blue{x}^{\frac{\purple{3}}{\orange{5}}}&=&\sqrt[\orange{5}]{\blue{x^\purple{3}}}\end{array}$

Deze regel kunnen we afleiden uit de eerste regel.

$\begin{array}{rcl}\sqrt[\orange n]{\blue a^\purple m}&=& \left(\blue a^\purple m\right)^{\frac{1}{\orange n}}\\&& \phantom{xxxxx}\blue{\text{rekenregel }\sqrt[n]{a}=\blue a^{\frac{1}{n}}}\\&=&\blue a^{\frac{\purple m}{\orange n}}\\&& \phantom{xxxxx}\blue{\text{rekenregel voor machten }\left(a^m\right)^n=a^{m \cdot n}} \end{array}$

Voor gebroken machten gelden dezelfde rekenregels als gehele machten.

Schrijf zonder haakjes en schrijf je antwoord als één breuk.
$\left(f^{\frac{1}{6}} \cdot c \cdot d^{-5}\right)^{4}$
Vereenvoudig je antwoord zo veel mogelijk en schrijf het zonder gebroken machten en zonder negatieve exponenten.

$\dfrac{ \sqrt[3]{f^2} \cdot c^{4}}{d^{20}}$

$\begin{array}{rcl} \left(f^{\frac{1}{6}} \cdot c \cdot d^{-5}\right)^{4} &=& \left(f^{\frac{1}{6}}\right)^{4} \cdot c^{4} \cdot \left(d^{-5}\right)^{4} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{rekenregel } \left(a \cdot b \right)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}} \\ &=& f^{\frac{1}{6} \cdot 4} \cdot c^{4} \cdot d^{-5 \cdot 4} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{rekenregel } \left(a^{n}\right)^{m} = a^{n \cdot m}} \\ &=& f^{{{2}\over{3}}} \cdot c^{4} \cdot d^{-20} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vermenigvuldigd in de exponent}}\\ &=& \dfrac{ \sqrt[3]{f^2} \cdot c^{4}}{d^{20}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{negatieve exponent en gebroken macht weggewerkt met rekenregels }} \\&&\phantom{xxx}\blue{a^{-n}=\frac{1}{a^n} \text{ en } a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}} \end{array}$

Nieuw voorbeeld