Vectorruimten: Coördinaten
Basis en trapvorm
In de theorie Basis vinden hebben we twee methoden besproken voor het vinden van een basis voor een vectorruimte. Eén van de twee methoden gaat niet uit van een stel opspannende vectoren; die methode maakt gebruik van het Groeicriterium voor onafhankelijkheid. De andere methode gebruikt wel een stel opspannende vectoren en werkt met uitdunning, een proces dat bij elke stap een afhankelijkheidsberekening behoeft. Door op coördinaten over te gaan, kunnen we het vinden van een basis ook in dit geval efficiënter uitvoeren als een veegproces.
We brengen in herinnering dat een matrix in trapvorm staat als hij de volgende twee eigenschappen heeft:
- alle elementen in de rijen onder een leidend element, zowel in de kolom waarin dat leidende element staat als in de kolommen links ervan, zijn nul;
- rijen met alleen maar nullen staan onderaan.
Het leidende element van een rij in een matrix is het eerste element (van links) in die rij dat niet nul is. De algemene gedaante van een matrix in trapvorm is dus:
\[
\left(\,\begin{array}{cccccccccccccccccc}
0 & \ldots & 0 & 1 & \ast & \ldots & \ast & \ast & \ast & \ldots & \ast & \ast & \ast & \ldots & \ast & \ast & \ldots & \ast\\
0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & \ast & \ldots & \ast & \ast & \ast & \ldots & \ast & \ast & \ldots & \ast\\
0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & \ast & \ldots & \ast & \ast & \ldots & \ast\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & \ast & \ldots & \ast\\
0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0\\
\vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots\\
0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0
\end{array}\,\right)
\]
We vatten de rijen van een #(m\times n)#-matrix op als vectoren in #\mathbb{R}^n#.
Trapvorm en onafhankelijkheid
De rijen ongelijk aan de nulrij van een matrix in trapvorm zijn onafhankelijk.
In het bijzonder is de rang van een matrix gelijk aan de dimensie van het opspansel van de rijvectoren.
Uit de stelling Standaardbewerkingen met opspannende stellen en bovenstaande stelling volgt hoe we een basis kunnen vinden voor een deelruimte opgespannen door vectoren in de coördinaatruimte #\mathbb{R}^n#:
Basisbepaling via coördinatenLaat #\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_m# een stel vectoren in #\mathbb{R}^n# zijn. Een basis van #\linspan{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_m}# kan gevonden worden met de volgende drie stappen:
- Stel de matrix #M# op waarvan de rijen de vectoren #\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_m# zijn.
- Veeg de rijen van #M# tot een trapvorm #T#.
- Het stel vectoren dat gevormd wordt door de niet-nulrijen van #T# is een basis van #\linspan{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_m}#.
Uit de stelling Standaardbewerkingen met opspannende stellen volgt dat het opspansel van de rijen van #M# gelijk is aan het opspansel van de rijen van #T#. De rijen van #T# die ongelijk aan de nulrij zijn, spannen dus #\linspan{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_m}# op. Vanwege bovenstaande stelling zijn ze onafhankelijk. Ze vormen dus een basis van #\linspan{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_m}#.
Als een vectorruimte #W# geen coördinaatruimte is, kunnen we dezelfde technieken toepassen na overgang op coördinaten ten opzichte van een gegeven basis #\basis{\vec{b}_1,\ldots,\vec{b}_n}# van #W#. Als #W# beschreven wordt door een stel van #m# opspannende vectoren, dan bepalen we eerst van dat stel opspannende vectoren de coördinaten ten opzichte van #\basis{\vec{b}_1,\ldots,\vec{b}_n}#, passen vervolgens bovenstaande stelling Basisbepaling via coördinaten toe, en schrijven tenslotte de gevonden basis in #\mathbb{R}^n# uit als lineaire combinaties van #\basis{\vec{b}_1,\ldots,\vec{b}_n}# om een basis van #W# te vinden.
Als we dit proces toepassen op de vectorruimte van lineaire veeltermfuncties op #\mathbb{R}^n#, met basis #\basis{x_1,x_2,\ldots,x_n,1}#, dan komen we weer uit op het veegproces van de aangevulde coëfficiëntenmatrix die bij een stelsel lineaire vergelijkingen hoort. Dit idee wordt verder besproken in een van onderstaande voorbeelden.
We vormen de matrix
\[ \left(\begin{array}{cccc}
1&0&2&0 \\
1&1&2&1\\
2&-1&4&-1 \\
1&3&2&3
\end{array} \right) \] Door vegen met de rijen verandert de opgespannen ruimte niet. We vegen naar de gereduceerde trapvorm (vegen tot trapvorm zou al volstaan) en vinden:
\[\left(\begin{array}{cccc}
1&0&2&0\\
0&1&0&1\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0
\end{array} \right)\] De vectoren #\rv{1,0,2,0}# en #\rv{0,1,0,1}# zijn dus de coördinaatvectoren van een basis voor #V#. Daarom is een goed antwoord: \[\basis{\rv{1,0,2,0},\rv{0,1,0,1}}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.