Orthogonale en symmetrische afbeeldingen: Orthogonale afbeeldingen
Orthogonale overgangsmatrices
We bespreken nu de rol van matrices bij algemene orthogonale afbeeldingen.
Overgangsmatrices bij orthonormale basesAls #\alpha# en #\beta# twee orthonormale bases in een reële inproductruimte zijn, dan is de overgangsmatrix #{}_\beta I_\alpha# orthogonaal en voldoet hij aan
\[
{}_\alpha I_\beta ={}_\beta I_\alpha^\top
\]
Dus hebben we de volgende uitbreiding van de stelling Orthogonaliteitscriteria voor matrices tot willekeurige eindigdimensionale inproductruimten.
Orthogonaliteitscriterium voor lineaire afbeeldingenLaat #\alpha# een orthonormale basis zijn voor een reële inproductruimte #V# van eindige dimensie en #L :V\rightarrow V# een lineaire afbeelding. Dan is #L# is dan en slechts dan orthogonaal als de matrix #L_\alpha# orthogonaal is.
#S_{\varepsilon}= # #\dfrac{1}{9}\,\matrix{1 & -8 & -4 \\ -8 & 1 & -4 \\ -4 & -4 & 7 \\ }#
Het stelsel #\basis{\rv{2,2,1},\rv{-2,2,0},\rv{0,1,-2}}# is lineair onafhankelijk en dus een basis voor #\mathbb{R}^3#.
Uit
\[\begin{array}{rcl} S_{\varepsilon} &=&{}_{\varepsilon} I_{\beta}\, S_\beta\,{}_\beta I_{\varepsilon}\\
&=&\matrix{2 & -2 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ }\, \matrix{-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ }\,\matrix{2 & -2 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ }^{-1}\\ &=&\matrix{-2 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \\ }\,\matrix{{{2}\over{9}} & {{2}\over{9}} & {{1}\over{9}} \\ -{{5}\over{18}} & {{2}\over{9}} & {{1}\over{9}} \\ {{1}\over{9}} & {{1}\over{9}} & -{{4}\over{9}} \\ }\\ &=&\dfrac{1}{9}\,\matrix{1 & -8 & -4 \\ -8 & 1 & -4 \\ -4 & -4 & 7 \\ } \end{array}\]
Het stelsel #\basis{\rv{2,2,1},\rv{-2,2,0},\rv{0,1,-2}}# is lineair onafhankelijk en dus een basis voor #\mathbb{R}^3#.
Uit
- #S(\rv{2,2,1}) = # #-\rv{2,2,1}#
- #S(\rv{-2,2,0}) = # #\rv{-2,2,0}#
- #S(\rv{0,1,-2}) = # #\rv{0,1,-2}#
\[\begin{array}{rcl} S_{\varepsilon} &=&{}_{\varepsilon} I_{\beta}\, S_\beta\,{}_\beta I_{\varepsilon}\\
&=&\matrix{2 & -2 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ }\, \matrix{-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ }\,\matrix{2 & -2 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ }^{-1}\\ &=&\matrix{-2 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \\ }\,\matrix{{{2}\over{9}} & {{2}\over{9}} & {{1}\over{9}} \\ -{{5}\over{18}} & {{2}\over{9}} & {{1}\over{9}} \\ {{1}\over{9}} & {{1}\over{9}} & -{{4}\over{9}} \\ }\\ &=&\dfrac{1}{9}\,\matrix{1 & -8 & -4 \\ -8 & 1 & -4 \\ -4 & -4 & 7 \\ } \end{array}\]
Zowel #S_{\varepsilon}# als de (diagonaal)matrix #S_\beta# met diagonaal #-1,1,1# van #S# met betrekking tot de basis \( \beta = \basis{\rv{2,2,1},\rv{-2,2,0},\rv{0,1,-2}}\) zijn orthogonaal, maar de overgangsmatrix #{}_{\varepsilon} I_\beta# is niet orthogonaal. Als we de orthonormale basis \[\gamma=\basis{\left[ {{2}\over{3}} , {{2}\over{3}} , {{1}\over{3}} \right] ,\left[ -{{1}\over{\sqrt{2}}} , {{1}\over{\sqrt{2}}} , 0 \right] ,\left[ {{1}\over{3\cdot \sqrt{2}}} , {{1}\over{3\cdot \sqrt{2}}} , -{{2^{{{3}\over{2}}}}\over{3}} \right] }\] gebruiken in plaats van #\beta#, krijgen we #S_\gamma = S_\beta#, maar dan is de overgangsmatrix #{}_{\varepsilon} I_\gamma# wel orthogonaal.
Ontgrendel volledige toegang
Toegang voor leraar
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
Toegang voor student
Is jouw universiteit niet aangesloten?
Via Pass Your Math kan je toegang krijgen tot onze cursussen onafhankelijk van je onderwijsinstelling. Bekijk de prijzen en nog veel meer. Of ga naar
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.